¿Cuál es la diferencia entre las gráficas de las ecuaciones F = x + y y F = x + iy?

Answer 1

Si está hablando de [matemáticas] x, y [/ matemáticas] reales, entonces las dos son de dimensiones diferentes. Si bien existe un isomorfismo simple entre [math] \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} [/ math] y [math] \ mathbb {C} [/ math], la función de valor real [math] f ( x, y) = x + y [/ math] no es isomorfo a la función de valor complejo [math] g (w) = w [/ math], donde [math] w = x + iy [/ math]. El primero es un plano en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] mientras que el último es un plano en [math] \ mathbb {C} ^ 2, [/ math] que es isomorfo a [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math], un espacio vectorial de cuatro dimensiones. Como usted preguntó acerca de los gráficos, es mejor discutir las funciones como un componente agregado: [matemáticas] (x, y, z = f (x, y)) [/ matemáticas] y [matemáticas] (x + iy, w = x + iy) \ cong (x, y, x, y) [/ math] donde el segundo y cuarto componentes son ejes imaginarios. Hagamos un ejemplo.

Considere el punto [matemáticas] (x, y) = (3,4) [/ matemáticas]. La función [matemática] f (x, y) [/ matemática] es igual a 7, mientras que [matemática] g (z) [/ matemática] genera un número complejo cuya magnitud es 5, pero tiene dos componentes [matemática] Re (g ( z)) = 3, Im (g (z)) = 4 [/ matemáticas]. Este último codifica más información que contiene una parte real e imaginaria. Por ejemplo, puede cambiar el valor [math] y- [/ math] sin afectar el tercer componente.

El gráfico [matemáticas] (x, y, f (x, y)) [/ matemáticas] es un plano bidimensional que se encuentra en un espacio vectorial tridimensional. Además, su rango es toda la línea real. Se describe de manera única por su vector normal unitario (y el hecho de que pasa el origen), a saber, [matemática] \ left (\ frac {1} {\ sqrt {6}}, \ frac {1} {\ sqrt {6}} , – \ frac {2} {\ sqrt {6}} \ right) [/ math]. Mientras que la gráfica de [matemáticas] (x + iy, w = x + iy) \ cong (x, y, x, y) [/ matemáticas] es un plano bidimensional (porque el núcleo tiene dimensión dos) sentado en un espacio vectorial de cuatro dimensiones descrito por la unidad vector normal [matemática] \ izquierda (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {2}, – \ frac {1} {2}, – \ frac {1 } {2} \ right) [/ math]. El rango de esta función es el plano complejo completo, o si lo prefiere, todo [math] \ mathbb {R} ^ 2. [/matemáticas]

Entonces al menos hay alguna diferencia. Como no conozco una manera fácil de imaginar el espacio de cuatro dimensiones, no puedo hacer mucho más.

Answer 2

Si [matemática] F (x, y) = x + y \ en R ^ {2} [/ matemática], entonces obviamente es un plano en [matemática] R ^ {3} [/ matemática]. Ahora, si tiene una función compleja [matemática] F ^ {‘} (w, iv) = x + iy \ en C [/ matemática], entonces la gráfica de la función está en [matemática] C ^ {2} [/ matemática ] o [matemática] R ^ {4} [/ matemática], porque [matemática] C ^ {n} [/ matemática] es idéntica a [matemática] R ^ {2n} [/ matemática], tenga en cuenta que [matemática] C [/ math] en sí es un objeto bidimensional llamado esfera de Riemann. Entonces, cuando su función compleja solo toma un argumento, puede dibujarla en [math] R ^ {2} [/ math] o en [math] C [/ math]. Ahora, cuando su función compleja toma 2 variables, entonces su gráfico está en [math] R ^ {4} [/ math] que no puede visualizar de una manera fácil. Pero siempre puedes hacer un truco y trazarlo como dos gráficos cada uno en [matemáticas] R ^ 3 [/ matemáticas]. Simplemente traza la parte real e imaginaria por separado. Por ejemplo, si traza [math] F ^ {‘} [/ math] en función de [math] (w, v, x) [/ math] y otra trama con [math] F ^ {‘} [/ math ] en función de [math] (w, v, y) [/ math] entonces obtienes dos planos en [math] R ^ {3} [/ math]. Hay muchas formas de visualizar esto, pero, por supuesto, para saber realmente cómo se ve, tienes que vivir en un espacio de cuatro dimensiones.
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Answer 3

Suponiendo que x e y son números reales y no valores en el eje x e y del plano real, la respuesta a la primera ecuación estará en la recta numérica real. La respuesta a la segunda estará en algún lugar del plano complejo.