¿Por qué es [math] 0 <\ cos A <\ sin A <\ frac {1} {\ cos a} \ \ text {for} \ 0 <A <\ frac {\ pi} {2} [/ math]?

Answer 1

Una de estas desigualdades es falsa. Eche un vistazo al círculo unitario para ver por qué y para ver por qué el otro es verdadero ( Sugerencia: Si [matemática] 0 <x 1 [/matemáticas].

EDITAR:

Las otras respuestas a esta pregunta no apelan a la definición de las funciones trigonométricas. Si hacemos eso, la explicación se vuelve bastante sencilla.

Echa un vistazo al círculo de la unidad a continuación.

Por definición, el punto en el círculo unitario cuyo vector de ubicación forma un ángulo [matemática] t [/ matemática] con el eje [math] x [/ math] – tiene coordenadas [math] (\ cos t, \ sin t) [/ math]. Si [math] t = \ frac {\ pi} {4} [/ math], vemos que [math] \ cos t = \ sin t [/ math]. Además, si [math] 0 <t \ sin t [/ math]. Así vemos que la primera desigualdad de la pregunta es falsa. (Finalmente, si [math] \ frac {\ pi} {2}> t> \ frac {\ pi} {4} [/ math], tenemos que [math] \ cos t> \ sin t [/ math] .)

Dado que [math] \ cos t [/ math] y [math] \ sin t [/ math] son ​​coordenadas de puntos en el círculo unitario, debemos tener eso en el primer cuadrante, es decir, para [math] 0 \ leq t \ leq \ frac {\ pi} {2} [/ math], que estos números pertenecen al intervalo cerrado [math] [0; 1] [/ math].

Y finalmente, cada vez que [math] 0 <x 1 [/ math]. Entonces claramente [matemáticas] \ sen t <\ frac {1} {\ cos t} [/ matemáticas] cuando
[matemáticas] 0 \ leq t \ leq \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas].

Answer 2

Dibujé un gráfico aproximado para esta pregunta. Obsérvalo. Encontrará que para 0

• cos A

• mientras que cos A <[1 / cos A] así como sen A <[1 / cos A].

Por lo tanto, debería ser:
cos A <[1 / cosA] y sen A <[1 / cos A] para 0

Espero que estés claro ahora!

Gracias por A2A.

Answer 3

No lo es cos (A) es mayor que sin (A) en el intervalo [matemática] [0, \ pi / 4] [/ matemática] y sin (A) es mayor que cos (A) en el intervalo [matemática] [\ pi / 4, \ pi / 2] [/ matemáticas]