Primero tenga en cuenta que todos los números bajo consideración son positivos. Eso significa que las siguientes desigualdades son todas lógicamente equivalentes
[matemáticas] \ frac {x + c / x} 2> \ sqrt c [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {(x + c / x) ^ 2} 4> c [/ matemáticas]
[matemáticas] (x + c / x) ^ 2> 4c [/ matemáticas]
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[matemáticas] x ^ 2 + 2c + c ^ 2 / x ^ 2> 4c [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2-2c + c ^ 2 / x ^ 2> 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (xc / x) ^ 2> 0 [/ matemáticas]
Como [math] (xc / x) ^ 2 [/ math] siempre es mayor o igual a 0, la única forma en que la desigualdad [math] (xc / x) ^ 2> 0 [/ math] podría fallar es si [matemática] x = c / x, [/ matemática] que es [matemática] x ^ 2 = c. [/ matemática] Pero la suposición [matemática] x> \ sqrt c [/ matemática] implica que [matemática] x ^ 2 \ neq c. [/ Math] Por lo tanto, la lista anterior de desigualdades es válida.