¿Cuál es una explicación simple de la palabra ‘abstracto’ y cómo se relaciona con el álgebra?

Answer 1

Desea comprender que lo que conoce como álgebra en la escuela secundaria es solo una aplicación de ciertas ideas en el tema matemático más amplio de Álgebra.

Es útil pensar en lo que realmente estás haciendo en el álgebra de la escuela secundaria. Se aleja de los números específicos reales a un símbolo abstracto que representa un número. A menudo usas x, pero en realidad no importa. Puede usar x, y, z, una letra griega, un icono como un círculo, un cuadrado, etc., lo que sea. No importa, porque el símbolo representa cualquier número. Reemplaza el número con el símbolo. En la secundaria, te llevan a esto, comenzando con ecuaciones simples donde están todos los números excepto tu variable, y “resuelves x” manipulando con ciertas reglas.

A partir de esto, puede construir hasta que tenga ecuaciones completas que no sean más que letras, por ejemplo, las fórmulas de cinemática en física.

Por ejemplo, para un objeto que se mueve bajo aceleración constante a, la posición x en el tiempo t es:
[matemáticas] x = x_0 + v_0t + \ frac {1} {2} t ^ {2} [/ matemáticas]

Puede manipular los símbolos de acuerdo con ciertas reglas y resolver una expresión general para x, por ejemplo, en términos de otras variables y coeficientes.

Puede hacer esto, hacer “matemáticas con símbolos” porque los números reales en general tienen ciertas reglas de aritmética que funcionan igual para cada número.

Veamos las reglas clave para los números reales.

• Tienes dos operaciones básicas, suma y multiplicación. (También hay sustracción y división, pero pueden reducirse a sumas y multiplicaciones)
• Si agrega dos números, también es un número.
• Si multiplica dos números, también es un número

• Hay un número 0. Si agrega 0 a cualquier cosa, obtendrá el mismo número con el que comenzó.
• Hay un número 1. Si multiplica algo por 1, obtiene lo que comenzó.
• El orden no importa para la adición. Si agrega 6 + 5, digamos, eso es lo mismo que 5 + 6
• El orden no importa para la multiplicación. Si multiplica, digamos, 8 * 9, eso es lo mismo que 9 * 8
• Para cada número, que no sea 0, puede encontrar otro número para que, si lo agrega, obtenga 0. Supongamos que tiene 5. Agregue – 5 y obtenga 0.
• Para cada número que no sea cero, puede encontrar otro número para que los dos números se multipliquen a 1
• Si sumas 3 números, puedes jugar con la forma en que los sumas, y eso no afecta la respuesta. Entonces (2 + 3) +4 = 2+ (3 + 4)
• Lo mismo con la multiplicación. (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)
• Y si multiplica a través de un paréntesis que contiene una adición, funciona de cierta manera, se distribuye. Entonces, digamos, 2 * (3 + 4) = 2 * 3 + 2 * 4

Cualquier número real funciona de la misma manera. Por lo tanto, puede reemplazar los números con símbolos y mover los símbolos de acuerdo con esas reglas, y funciona igual que con los números.

Los matemáticos notaron que hay otros conjuntos de matemáticas que funcionan de la misma manera. Los objetos en el conjunto no son números, y las operaciones no son suma y multiplicación, sino que aparte de las etiquetas, los nombres, todas esas reglas son válidas. Hasta cierto punto, son el mismo tipo de cosas. Y lo útil es que si puede probar algo utilizando solo esas reglas y propiedades, se cumple para cualquier otro conjunto con las mismas reglas y propiedades. Entonces, por ejemplo, cualquier cosa con estas reglas y propiedades se llama aa Campo (matemáticas) . Los números reales son un campo. Los números complejos son un campo. Así son los racionales. Puede verificar, todas las reglas se mantienen.

Sin embargo, los números naturales no son un campo, porque una regla, que todo tiene un inverso para la multiplicación, no se cumple. Para 5, digamos, el inverso es 1/5, que no es natural. Los matemáticos tienen otro nombre para este “Es un campo, excepto por la multiplicación inversa”. Lo llaman un anillo (matemáticas) . (Bueno, técnicamente un Anillo conmutativo . Un anillo básico no tiene que tener el viaje de multiplicación)

También puede pensar en algo como los enteros, un anillo conmutativo, que también comparte la propiedad de los enteros donde si a * b = 0, entonces uno de ellos es cero. Un anillo como este se llama dominio integral . O un anillo donde tienes ciertos bloques de construcción “primos” más bajos de multiplicación, y puedes factorizar cualquier número de manera única en términos de estos “primos”. Estos objetos se conocen como dominio de factorización único .

Hay otro tipo de categoría o clase para los objetos con una sola operación que se comportan como enteros solo bajo la suma (excepto para el orden sin importar). Esto se llama un grupo (matemáticas)   Las simetrías de un cuadrado, por ejemplo, son un grupo. O las simetrías continuas de rotaciones en 3 espacios. O las simetrías de un poliedro regular. O las permutaciones de un conjunto de n elementos.

Otro ejemplo es algo llamado espacio vectorial . Extrae las propiedades clave que se aplican a la suma y escala de vectores de flechas en geometría, y encuentra que esto también se aplica a todo tipo de objetos no relacionados como funciones, matrices, polinomios, números complejos. Si expande esto un poco para incluir espacios vectoriales que tienen algo que se comporta como el producto interno (punto), obtendrá algo llamado Espacio interior del producto , que es increíblemente útil en física matemática.

Esta es la idea detrás de esto. Identifica las propiedades definitorias compartidas de ciertas clases de conjuntos, y estudia las propiedades compartidas, estudia cómo las diferentes asignaciones de un tipo de conjunto a otro afectan las estructuras del objeto. Por ejemplo, si f asigna a G a H, y usted tiene a, b, c en G con a + b = c, ¿f (a) + f (b) = f (c)? Es un estudio y clasificación de las estructuras matemáticas comunes básicas que tienen diferentes tipos de conjuntos y cómo se relacionan.

Answer 2

Literalmente, “abstracto” significa “retirado”. Lo que se quiere decir aquí es que alejas una noción de la realidad física. Por ejemplo, una pintura abstracta ya no se refiere a objetos físicos.

En el caso del álgebra abstracta, la cosa “física” de la que se separa el álgebra son los números, que, en una visión matemática, están lo más cerca posible de la realidad. En lugar de números, considera campos y anillos, definidos por reglas de cálculo.

Además, el álgebra abstracta se ve menos como la teoría que lo ayuda a resolver ecuaciones, en cambio, como la teoría de la estructura de las entidades abstractas en las que funcionan estas ecuaciones. Las funciones son relevantes en forma de mapeos, cosas que comparan estructuras algebraicas. Las variables son solo objetos que se ajustan a la teoría abstracta de una manera, no principalmente contenedores de valores.

Es posible volver a poner la realidad en álgebra abstracta aplicando las nociones abstractas y los resultados obtenidos con ellos a los números, funciones, ecuaciones, variables, los objetos de la “vida real” con los que comenzamos. Sin embargo, a menudo sucede que las entidades abstractas permanecen en su reino y no muestran mucha relevancia en el mundo no abstracto. Pero ocasionalmente, sucede que los métodos abstractos más remotos se combinan de las maneras más extrañas, y el resultado es una prueba de la afirmación de Fermat sobre sumas de poderes.

Answer 3

La abstracción significa ignorar detalles irrelevantes y centrarse solo en ciertas ideas y propiedades comunes. Toda matemática es abstracta. El número “2” no es un objeto sólido que podamos tocar, es una idea que resalta la similitud subyacente entre un par de elefantes y un par de vasos de agua. Las propiedades del número “2” no dependen de qué objeto tenemos dos: estamos abstrayendo todos los demás detalles.

Álgebra agrega otra capa de abstracción, manipulando símbolos que no representan ningún número en particular. Sí, a menudo resolvemos una ecuación algebraica para mostrar que una variable debe tener un valor particular, pero nuestra capacidad de manipular los símbolos para llegar a una solución depende del hecho de que hay propiedades de los números que no dependen de lo que número es (como el hecho de que a + b = b + a.)

Por lo tanto, el término “álgebra abstracta” es engañoso porque todo el álgebra es bastante abstracto. Pero “álgebra abstracta” se refiere a un nivel en el que ya ni siquiera suponemos que estamos hablando de números. En su lugar, estudiamos cosas que tienen al menos algunas de las propiedades de los números y pueden manipularse de manera similar. Esta es una capa adicional de abstracción más allá de lo que encontramos en el álgebra de la escuela secundaria.

Answer 4

‘Resumen’, en un contexto matemático, significa alejarse de las matemáticas como herramienta para modelar objetos y comportamientos físicos, y estudiar las características de los propios modelos matemáticos.

La aritmética, la manipulación directa de números a través de operaciones familiares como la suma y la multiplicación, se encuentra en el nivel más bajo de abstracción matemática. Agregue dos naranjas a dos naranjas, obtendrá cuatro naranjas. Nuestros objetos fundamentales son los números.

Una forma de agregar abstracción a la aritmética (pero difícilmente la única; ver teoría de números) es generalizar la aritmética en números a la aritmética y otras manipulaciones realizadas en variables (elementos arbitrarios de un conjunto como ‘los enteros’ o ‘los números reales’) ; La ecuación cuadrática es un ejemplo básico. Este es el comienzo del álgebra. Nuestros objetos fundamentales son los símbolos.

El álgebra abstracta nos lleva a una eliminación adicional y considera las reglas por las cuales definimos conjuntos y operaciones en elementos de esos conjuntos; una combinación de los dos se llama estructura algebraica, y las estructuras algebraicas son los objetos fundamentales del álgebra abstracta. Un ejemplo familiar de una estructura algebraica es el conjunto de números racionales con igualdad, suma y multiplicación definidos como normales (y con las operaciones inversas, resta y división, implícitas). Esta es una estructura de anillo, entre otras cosas; de hecho, esta estructura también es un álgebra, que le dice algo sobre qué tan lejos podemos llegar al hoyo del conejo.