Sí, probé que la pregunta estaba equivocada. Espero no estar equivocado, pero de todos modos, agrego mis pensamientos a medida que lo paso.
Muy bien, entonces mis primeros instintos me dijeron que usara el hecho de que las raíces eran enteras. Si pudiera demostrar que las raíces eran positivas o negativas o tenían signos opuestos, podría simplemente poner [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] -1 [/ matemáticas] y obtener resultados significativos que podría manipular aún más. (Al menos eso es lo que pensaba).
Entonces, para ver cómo se comportaban, comencé lo primero que pensé que podía hacer con las raíces. Los agregué.
[matemáticas] \ text {Suma de raíces} = – \ frac {\ text {coeficiente de} x} {\ text {coeficiente de} x ^ 2} [/ matemática]
- ¿Alguien puede proporcionar una solución analítica para [matemáticas] \ frac {dr} {dt} = 1 + \ frac {1} {r} + \ frac {1} {r ^ 3} [/ matemáticas] con [matemáticas] r ( 0) = r_0 [/ matemáticas]?
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Deje que esa suma sea [matemáticas] p [/ matemáticas]
[matemáticas] p = \ dfrac {2 (ba)} {a + b + c} [/ matemáticas]
Tentado por el hecho de que necesitaba B y C en un solo lugar (porque esa es la única relación que tenía), Compinedo y Dividend parecían una muy buena opción para ir desde aquí. Y C&D lo hice. (Al hacer esto, asumimos que [math] p \ ne 1. [/ Math] Pero podemos ver que [math] p [/ math] solo puede ser igual a 1 si [math] ([/ math] [math] c = b-3a) [/ math] que es negado por la pregunta). Me saltearé los cálculos y saltaré a lo más interesante que surgió de él.
[matemáticas] \ dfrac {p + 1} {p-1} = \ dfrac {3b-a + c} {(b-3a) -c} [/ matemáticas]
El denominador parece familiar, ¿no? ¡Increíble! Molestado por el numerador, simplemente lo forcé brutalmente a que se viera ‘impresionante’. Entonces, [matemáticas] (3b-a + c) [/ matemáticas] se convirtió en [matemáticas] (b-3a + 2a + 2b + c) [/ matemáticas]
Entonces, ¿qué logramos? ¿Cuál era el punto de todo? Recuerde que mi objetivo principal era buscar los signos, así que intenté si podía determinar el signo de la fracción en el RHS.
Se da que, [matemáticas] c> b-3a. [/ Matemáticas] Entonces [matemáticas] (b-3a) -c <0. [/ Matemáticas] ¡Perfecto! Nuestro denominador es negativo!
Por similitud, [matemática] b-3a> 0 [/ matemática] implicaba [matemática] b-3a + c> c> 0 [/ matemática]. Y dado que a, yb se dan como + ve reales, podemos extenderlo a [matemáticas] (b-3a + c + 2 (a + b)> 0) [/ matemáticas]. ¡Entonces, todo nuestro término numerador sale positivo!
Emocionado de que funcionara tan bien, concluí lo que esto significaba.
[matemáticas] \ dfrac {3b-a + c} {(b-3a) -c} <0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ dfrac {p + 1} {p-1} <0 [/ matemáticas]
Esto solo puede suceder si [matemática] p [/ matemática] está en algún lugar entre [matemática] -1 [/ matemática] o [matemática] 1. (-1> p> 1) [/ matemáticas]
Después de andar por las ramas por un rato, revisé la pregunta y listo, ¡me había olvidado de que las raíces son enteras! Entonces [math] p [/ math] también tiene que ser un número entero. ¡Entonces el único valor que [math] p [/ math] puede tomar es [math] 0 [/ math]!
Tada Puedo demostrar que [matemáticas] (a = b) [/ matemáticas] porque el coeficiente tiene que ser [matemáticas] 0. [/ Matemáticas]
¡Pero espera! [matemática] b = a [/ matemática] implica que o bien me equivoqué realmente, muy mal ¡O tu pregunta es realmente, muy incorrecta! ([math] b-3a [/ math] no puede ser positivo simultáneamente con toda la otra información provista).
Editar: pensé que podría encontrar el valor de [matemáticas] a [/ matemáticas] fácilmente si tomara [matemáticas] c = b-3a [/ matemáticas]. Pero resultó que hubo un pequeño error algebraico y, de hecho, no se pudo sacar una solución real. Así que eso también. He eliminado esa parte ahora.
Espero haber hecho esto bien. Preguntas de seguimiento y / o correcciones serían muy apreciadas.