Cómo simplificar [matemáticas] \ frac {(n + 1) ^ {n + 1}} {n ^ n} [/ matemáticas]

Answer 1

“Simplificar” es un término cargado. Las expresiones matemáticas se pueden escribir en muchas formas equivalentes, algunas aparentemente más simples que otras. A veces no existe una aparente “simplificación”, pero la refundición de la expresión es útil para algún propósito.

Por lo tanto, es difícil responder a esas preguntas sin contexto, pero si se encuentra con esto en el curso de la resolución de un problema sobre límites o por ahí, debe considerar esto:

[matemáticas] \ frac {(n + 1) ^ {n + 1}} {n ^ n} = [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {(n + 1) (n + 1) ^ n} {n ^ n} = (n + 1) \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n [ /matemáticas].

Esta forma de expresión proporciona una comprensión clara de su orden de magnitud: para valores grandes de [math] n [/ math] es aproximadamente [math] en [/ math]. Dependiendo de lo que intente hacer con esto, esto puede ser una simplificación o no.

Answer 2

Llame al resultado X y tome el registro de ambos lados para obtener
log X = (n + 1) log (n + 1) – n log n
Por ejemplo: si n = 10, obtenemos
log X = 11 log 11 – 10 log 10 = 1.4553
Entonces X = base 10 a la potencia 1.4553 o 10 ^ 1.4553 = 28.531

Answer 3

Siguiendo con la respuesta de Alon Amit, para valores grandes de [math] n [/ math] podemos usar la identidad:

[matemática] \ izquierda (1+ \ frac {1} {n} \ derecha) ^ n \ aprox e. [/ matemática]

Esto da como resultado [matemáticas] \ dfrac {(n + 1) ^ {n + 1}} {n ^ n} \ aprox (n + 1) e [/ matemáticas]. Por ejemplo, para [matemática] n = 100, [/ matemática] la aproximación [matemática] (274.5465) [/ matemática] al valor exacto [matemática] (273.1862
) [/ math] es correcto para [math] 3 [/ math] dígitos significativos.

Answer 4

Usted no Seriamente. Como n y n +1 son números primos relativos, esta ya es la forma más simple. Es posible que sienta la tentación de intentar una expansión binomial del numerador ([matemáticas] (n + 1) ^ {n + 1} = \ sum_ {k = 0} ^ {n + 1} \ begin {pmatrix} n + 1 \ \ k \ end {pmatrix} n ^ k [/ math]) y divida los dos últimos términos ([math] kn ^ n [/ math] y [math] n ^ {n + 1} [/ math]) entre denominador, pero el resto se verá desordenado.

Answer 5

Simplemente cree un nuevo símbolo: “•” como n ^ n = n • ¡luego una función! X = (x + 1) / x para tener la forma “simple”
!X•
solo en 3 signos.

Y que ?

Amo la estética.

Answer 6

[matemáticas] e (n + 1) / n [/ matemáticas]

¿Por qué recibí esta respuesta?

Answer 7

Está en forma más simple. Para examale si n = 10

Tienes. 11 ^ 11. / 10 ^ 10. Si no puede simplificar eso, no puede simplificar la forma general.

Answer 8

Ya está en términos más simples, es decir, expresado en forma cerrada con el menor número posible de símbolos distintos.