Por definición:
[matemáticas] \ existe k \ in \ N, a = \ binom {n} {k}, b = \ binom {n} {k + 1}, c = \ binom {n} {k + 2} [/ matemáticas ]
[matemáticas] \ Rightarrow \ frac {a} {b} = \ frac {k + 1} {nk}, \ quad \ frac {b} {c} = \ frac {k + 2} {nk-1} [/ matemáticas]
[matemática] \ Flecha derecha b (n-1) -bk = ck + 2c [/ matemática]
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[math] \ Rightarrow k = \ frac {b (n-1) -2c} {b + c} [/ math]
Sustituyendo [math] k [/ math] en nuestra expresión por [math] a / b [/ math] obtenemos:
[matemáticas] \ frac {a} {b} = \ frac {\ frac {b (n-1) -2c} {b + c} +1} {n- \ frac {b (n-1) -2c} {b + c}} = \ frac {bn-c} {nc + b + 2c} [/ math]
[matemática] \ Rightarrow acn + ab + 2ac = b ^ 2n-bc [/ math]
[matemáticas] \ Flecha derecha n (b ^ 2-ac) = 2ac + b (a + c) [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow n = \ frac {2ac + b (a + c)} {b ^ 2-ac} [/ math]
QED