La función [math] y = \ frac {x} {2} [/ math] se define para todos [math] x [/ math]. La función [matemáticas] y = \ frac {x (x-1)} {2 (x-1)} [/ matemáticas] es la misma, pero ¿está definida en [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]? Si no, ¿por qué?

Answer 1

Para responder una pregunta como esta, debe pensar cuidadosamente sobre lo que se entiende por igualdad de dos funciones. Aquí hay una definición habitual:

Dos funciones son iguales si y solo si asignan el mismo dominio al mismo rango de tal manera que la imagen de cualquier punto en el dominio bajo la primera función concuerde con la imagen de ese mismo punto bajo la segunda función.

Entonces, las dos funciones que describe son, de hecho, no iguales (suponiendo que tome la línea real completa como el dominio que parece implícito en su pregunta). Esto es obviamente cierto ya que, en el punto [math] x = 1 [/ math], una función se evalúa a 0.5 mientras que la otra tiene una forma indeterminada, 0/0. De hecho, técnicamente, toda la línea real no puede ser el dominio de la segunda función, ya que está escrita, por lo que las dos funciones ni siquiera comparten el mismo dominio.

Dicho esto, podemos hacer que las dos funciones sean las mismas muy fácilmente. Aquí hay una manera:

Defina su segunda función de la misma manera que está actualmente escrita en el dominio [math] \ {x 1 \} [/ math]. Luego agregue que la función es igual a 0.5 cuando [math] x = 1 [/ math]. Ahora tiene la primera función definida para todos [math] x \ in \ mathbb R [/ math] para que compartan un dominio. Además, las dos funciones coinciden en cada valor del dominio. Por lo tanto, son funciones iguales (y se escriben de manera diferente).

Aquí hay otra forma:
Restrinja los dominios de las dos funciones para que sean [math] x \ ne 1 [/ math]. Ahora, para cada punto en el dominio, las dos funciones están de acuerdo, por lo que nuevamente son la misma función. (Pero no tienen la misma función que las dos que están de acuerdo en el párrafo anterior ya que estamos considerando dos dominios diferentes).

Answer 2

Bueno, no es lo mismo. U puede cortar (tachar) el factor / expresión común de los numeradores y el denominador, solo y solo si el factor / expresión no es igual a 0. ¡Ahora en x! = 1, podemos cancelar el factor común pero ese no es el caso en x = 1 (x-1 = 0). Obtenemos un caso 0/0 que no está definido.

Answer 3

Si insiste en escribir la función de esta forma en lugar de cancelar el factor común entre el numerador y el denominador, el valor de la función en x = 1 no está definido.

Sin embargo, estos puntos se denominan “singularidad removible”, porque las personas pueden extender fácilmente la definición de la función para hacer que la función tenga un comportamiento agradable en la vecindad de dicho punto. En este caso, tenga en cuenta que los límites de x-> 1 desde la izquierda (x <1) y la derecha (x> 1) son los mismos. Por lo tanto, simplemente podemos definir el valor de f (1) como dicho límite. La función resultante es continua en x = 1.

Este es un ejemplo muy artificial (¿por qué no simplemente cancelar el factor x-1?). Sin embargo, hay casos en que dicha redefinición es necesaria y tiene significados más profundos. El ejemplo más común es la función sinc sin (x) / x en x = 0.

Answer 4

No está definido en x = 1 porque 2 (x-1) es cero cuando x = 1, y no se puede dividir por cero. No es lo mismo: es lo mismo solo para x <> 0.

Answer 5

Al definir [matemáticas] y = x / 2 [/ matemáticas] como [matemáticas] y = x (x-1) / 2 (x-1) [/ matemáticas] está introduciendo discontinuidad en x = 1. Los límites izquierdo y derecho son los mismos, pero en x = 1 esta función no está definida.

Answer 6

Comprendí que no podías dividir entre 0 (actualmente un estudiante de segundo año de Matemáticas en la universidad) y no me permitió explicarme un poco más en la pregunta. ¿Seguramente esto podría hacerse para cualquier función? Digamos que tengo y = x, si solo multiplicara arriba y abajo por (x-1) (x-2), básicamente lo mismo que multiplicar por 1, la función ahora no está definida en x = 1 yx = 2 . Pero si tuviera que cancelar los (x-1) y (x-2), volvemos al punto uno y todo está bien en x = 1 yx = 2. Estoy luchando por explicar lo que estoy pensando en mi cabeza, pero ¿por qué puedes hacer que una función no esté definida en cierto punto, cuando en realidad todo lo que estás haciendo es multiplicar por 1?