Cómo demostrar que este límite no existe de acuerdo con la definición de Cauchy (usando epsilon y delta)

Answer 1

Use eso para [math] x <\ frac {\ pi} {2} [/ math] tiene [math] \ sin (x) <x [/ math] entonces

[matemáticas] \ frac {x ^ 2 + x ^ 3} {\ sin ^ 3 (x)}> \ frac {x ^ 2 + x ^ 3} {x ^ 3} = 1 + \ frac {1} {x }> \ frac {1} {x} [/ math]

Que se puede hacer mayor que [matemáticas] N [/ matemáticas] para cualquier número natural dado [matemáticas] N [/ matemáticas]. Solo tome [math] x <\ frac {1} {N} [/ math] y tendrá

[matemáticas] \ frac {1} {x}> N [/ matemáticas]

Entonces, por definición

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0 ^ +} \ frac {x ^ 2 + x ^ 3} {\ sin ^ 3 (x)} = \ infty [/ matemáticas]

porque asumimos que [math] x> 0 [/ math].
De la misma manera puede mostrar que para [matemáticas] x <0 [/ matemáticas] tiene

[matemáticas]
\ lim_ {x \ a 0 ^ -} \ frac {x ^ 2 + x ^ 3} {\ sin ^ 3 (x)} = – \ infty
[/matemáticas]

Como los límites laterales no son iguales, el límite
[matemáticas]
\ lim_ {x \ a 0} \ frac {x ^ 2 + x ^ 3} {\ sin ^ 3 (x)}
[/matemáticas]
no existe.