Cómo evaluar [matemáticas] \ displaystyle [/ matemáticas] [matemáticas] \ prod_ {k = 0} ^ \ infty \ left (1- \ frac {2 ^ {2 ^ k}} {4 ^ {2 ^ k} + 1} \ right) [/ math]

Answer 1

Denotamos
[matemáticas] a_k: = 4 ^ {2 ^ k} -1 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] b_k: = 4 ^ {2 ^ k} + 2 ^ {2 ^ k} +1. [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] 1- \ frac {2 ^ {2 ^ k}} {4 ^ {2 ^ k} +1} = \ frac {4 ^ {2 ^ k} -2 ^ {2 ^ k} +1} { 4 ^ {2 ^ k} +1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {(4 ^ {2 ^ k} -2 ^ {2 ^ k} +1) (4 ^ {2 ^ k} + 2 ^ {2 ^ k} +1) (4 ^ {2 ^ k} -1)} {(4 ^ {2 ^ k} +1) (4 ^ {2 ^ k} -1) (4 ^ {2 ^ k} + 2 ^ {2 ^ k} +1)} [/matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {(16 ^ {2 ^ k} + 4 ^ {2 ^ k} +1) (4 ^ {2 ^ k} -1)} {(16 ^ {2 ^ k} -1) (4 ^ {2 ^ k} + 2 ^ {2 ^ k} +1)} = \ frac {a_k b_ {k + 1}} {b_k a_ {k + 1}} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ prod_ {k = 0} ^ n \ left (1- \ frac {2 ^ {2 ^ k}} {4 ^ {2 ^ k} +1} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ frac {a_0b_1} {b_0a_1} \ cdot \ frac {a_1b_2} {b_1a_2} \ cdot \ dots \ cdot \ frac {a_nb_ {n + 1}} {b_na_ {n + 1}} = \ frac { a_0 b_ {n + 1}} {b_0 a_ {n + 1}} [/ matemática]
[matemáticas] = \ frac {(4 ^ {2 ^ 0} -1) (16 ^ {2 ^ n} + 4 ^ {2 ^ n} +1)} {(4 ^ {2 ^ 0} + 2 ^ {2 ^ 0} +1) (16 ^ {2 ^ n} -1)} \ to \ frac37, \ quad n \ to \ infty. [/ Math]

Answer 2

Un método para resolver este problema o verificar la respuesta es usando Mathematica y la función incorporada NProduct [] y escribiendo el código:

Racionalizar [NProduct [(1 – (2 ^ 2 ^ k) / (4 ^ 2 ^ k + 1)), {k, 0, Infinito}]]

El resultado o respuesta obtenida es:

[matemáticas] \ displaystyle \ color {rojo} {\ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (1 – \ frac {2 ^ {2 ^ k}} {4 ^ {2 ^ k} + 1 } \ right) = \ frac {3} {7}} [/ math]

Puede encontrar un valor numérico de la respuesta escribiendo:

N [Producto [(1 – (2 ^ 2 ^ k) / (4 ^ 2 ^ k + 1)), {k, 0, Infinito}], 15]

o también escribiendo:

SetPrecision [NProduct [(1 – 2 ^ 2 ^ k / (4 ^ 2 ^ k + 1)), {k, 0, Infinito}], 15]

El resultado es :

[matemáticas] \ displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (1 – \ frac {2 ^ {2 ^ k}} {4 ^ {2 ^ k} + 1} \ right) \ aprox. 0.428571428571429 [/ matemáticas]