¿Cuál es la potencia más alta de 9 dividiendo por completo 99?

La respuesta tiene que ser 24.
Como debemos buscar la potencia de 9 y 9 se puede escribir como 3 ^ 2, entonces buscaremos potencias de 3.


99/3 = 33

Los números que tienen 3 como factor repetido varias veces son;

9 -1

18 -1

27 -2

36 -1

45 -1

54 -2

63 – 1

72 -1

81 -3

90 -1

99 – 1

Esto indica un número adicional de 3 que cuenta hasta 15.
Entonces, la potencia total de 3 sería 3 ^ 48.
Ahora, tenemos que encontrar la potencia de 9, que es 3 ^ 2.
Entonces, 48/2 = 24.
Por lo tanto, la mayor potencia de 9 es 24.

Esto es lo mismo que preguntar cuál es el múltiplo más alto de 3 que divide 99 !, dividido por dos y redondeado hacia abajo. Así que veamos cuántos múltiplos de 3 hay.

Primero, cada tercer número será divisible por 3, comenzando con 3. Esto da 33 3s.

A continuación, cada tercer múltiplo de 3 es divisible dos veces, por lo que los contaremos extra. A partir de 9, esto da 11 3s.

A continuación, cada tercer múltiplo de esos será divisible 3 veces, por lo que obtienen otro recuento en la parte superior. Estos son 27, 54 y 81, o 3 3 extra.

Finalmente, 81 en realidad tiene 4 múltiplos de 3, por lo que lo agregaremos por última vez para un total de 33 + 11 + 3 + 1 = 48 3s, o 24 múltiplos de 9. ¡Por lo tanto, 9 ^ 24 dividirá 99! igualmente.

¡El poder total de cualquier primo n en s! ¿Es floor {s ​​/ n} + floor {s ​​/ n ^ 2} + floor {s ​​/ n ^ 3} +…
Así, los poderes de 3 son
99/3 + 99/9 + 99/27 + 99/81 = 33 + 11 + 3 + 1 = 48
Por lo tanto, la potencia de 9 es 48/2 = 24.

Son 24
¡Comencemos calculando el poder más grande de 3 que se puede dividir por 99!
3, 6,9,12, …… 99
Eso es 33 términos
Ahora los números 9, 18, 36, 45,63,72,90, 99 contienen 2 tres (8 términos)
27, 54, contienen 3 tres (tres términos)
81 contiene 4 tres

¡Por lo tanto, un total de 3 en 99! Es
33 + 8 + 4 (dos dos tres extra de 27 54) +3 (tres 3 extra de 81)
= 48

¡Por lo tanto, 3 ^ 48 se puede dividir por 99!
¡Y así 9 ^ 24 se puede dividir por 99 !.

99! = 99 * 98 * 97 ………… .. * 3 * 2 * 1

9 = 3 ^ 2

No de 3 presentes en 99! = 3,6,9,12, …………… 99 (33 números)

Los números que contienen 3 exactamente 4 veces son: 81 (1 número)

Los números que contienen 3 exactamente 3 veces son: 27,54 (2 números)

Los números que contienen 3 exactamente 2 veces son: 9,18,36,45,63,72,90,99 (número 8)

Los números que contienen 3 exactamente 1 veces son: 3,6, ………… .96 (33-1-2-8 = 22 número)

¡No de 3 es 99! = 4 (1) +3 (2) +2 (8) + 22 = 4 + 6 + 16 + 22 = 48

99! = A * 3 ^ 48 = a * 9 ^ 24 (donde a es entero)

Por lo tanto, 24 es el número máximo

prueba: 99! mod 9 ^ 24 = 0

La forma más simple de calcular la potencia de algún número, digamos n en factorial de algún número, digamos que m es simplemente:
Suma de la parte integral de (m / ( n ) ^ i) donde i = 1,2,3, … hasta m / n > 0
¡De ahí la potencia más alta de 9 en 99! es-
(int) 99/9 + (int) 99/81 + (int) 99/729 = 12
Entonces la respuesta es 12.

99! es divisible por (entre otros factores) 99, 90, 81, 72, 63, 54, 45, 36, 27, 18 y 9. Hay 12 nueves en eso, si los factoriza todos (81 = 9 * 9 , entonces cuenta dos veces). ¡9 ^ 12 es la potencia más alta que es un factor de 99 !, si lo hiciera bien.