Cómo evaluar [math] \ int_0 ^ {2 \ pi} \ frac {\ cos ^ 2 (3x)} {5 – 4 \ cos (2x)} dx [/ math] usando una sustitución por una variable compleja

Answer 1

Al realizar todas las sustituciones adecuadas, la integral se convierte en:

[matemáticas] \ displaystyle \ int_C \ frac {\ left (\ left (z ^ 3 + z ^ {- 3} \ right) / 2 \ right) ^ 2} {5-4 \ left (z ^ 2-z ^ {-2} \ right) / 2} \ frac {dz} {iz} = – \ frac {1} {8i} \ displaystyle \ int_C \ frac {(z ^ 6 + 1) ^ 2} {z ^ 5 ( z ^ 4-5 / 2z ^ 2 + 1)} dz [/ matemáticas]

donde la ruta [matemática] C [/ matemática] es el círculo unitario. Observamos que el integrando tiene singularidades en [math] z_0 = 0 [/ math], [math] z_1 = 1 / \ sqrt {2} [/ math], [math] z_2 = -1 / \ sqrt {2} [ / math], [math] z_3 = \ sqrt {2} [/ math] y [math] z_4 = – \ sqrt {2} [/ math].

Solo tenemos que tomar en consideración las tres primeras singularidades, porque las dos últimas están fuera del círculo unitario [matemáticas] C [/ matemáticas].

El primer polo es de un orden superior, es decir, el quinto orden, y los otros, [matemáticas] z_2 = 1 / \ sqrt {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] z_2 = -1 / \ sqrt {2} [/ matemáticas] son ​​polos simples.

Los residuos en los polos simples son fáciles de calcular:

[math] \ mathrm {Res} _ {z = 1 / \ sqrt {2}} f (z) = \ lim_ {z \ rightarrow1 / \ sqrt {2}} \ left (\ frac {(z ^ 6 + 1 ) ^ 2} {z ^ 5 (z ^ 2-2) (z + 1 / \ sqrt {2})} \ right) = – \ frac {27} {8} [/ math]

[matemáticas] \ mathrm {Res} _ {z = -1 / \ sqrt {2}} f (z) = \ lim_ {z \ rightarrow-1 / \ sqrt {2}} \ left (\ frac {(z ^ 6 + 1) ^ 2} {z ^ 5 (z ^ 2-2) (z-1 / \ sqrt {2})} \ right) = – \ frac {27} {8} [/ math]

El residuo en [matemáticas] z_0 = 0 [/ matemáticas] se calcula tomando la serie Taylor de

[matemáticas] \ frac {1} {(z ^ 2-2)} \ frac {1} {(z ^ 2-1 / 2)} = \ left (- \ frac {1} {2} – \ frac { z ^ 2} {4} – \ frac {z ^ 4} {8} -… \ right) \ left (-2 – 4z ^ 2- 8z ^ 4 -… \ right) = \ left (1+ \ frac { 5z ^ 2} {2} + \ frac {21z ^ 4} {4} +… \ right) [/ math]

El residuo en [matemática] z_0 = 0 [/ matemática] es el coeficiente frente a [matemática] z ^ 4: 21/4 [/ matemática]. Si combinamos todos estos residuos, obtenemos la solución:

[matemáticas] – \ frac {1} {8i} \ displaystyle \ int_C \ frac {(z ^ 6 + 1) ^ 2} {z ^ 5 \ left (z ^ 2-2 \ right) \ left (z ^ 2 – \ frac {1} {2} \ right)} = [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {1} {8i} (2 \ pi i) \ left (\ mathrm {Res} _ {z = 0} \ left (\ frac {(z ^ 6 + 1) ^ 2} {z ^ 5 \ left (z ^ 2-2 \ right) \ left (z ^ 2- \ frac {1} {2} \ right)} \ right) + \ mathrm {Res} _ {z = 1/2} \ left (\ frac {(z ^ 6 + 1) ^ 2} {z ^ 5 \ left (z ^ 2-2 \ right) \ left (z ^ 2- \ frac {1} {2} \ right)} \ derecha) + \ mathrm {Res} _ {z = -1 / 2} \ left (\ frac {(z ^ 6 + 1) ^ 2} {z ^ 5 \ left (z ^ 2-2 \ right) \ left (z ^ 2- \ frac {1} {2} \ right)} \ right) \ right) = [/ math]

[matemáticas] – \ frac {1} {8i} (2 \ pi i) \ left (\ frac {21} {4} – \ frac {27} {8} – \ frac {27} {8} \ right) = \ frac {3 \ pi} {8} [/ matemáticas]

Answer 2

Bueno, un enfoque es hacer la sustitución [math] z = e ^ {ix} [/ math]. Entonces la integral se convierte en una integral compleja sobre una curva. Debido a los afortunados límites de integración, esta curva se convierte en una curva cerrada, es decir, el círculo unitario atraviesa en la dirección positiva habitual (en sentido contrario a las agujas del reloj).

Por lo tanto, queda por transformar el integrando. Aquí puede usar [math] \ cos (kx) = \ frac12 \ left (e ^ {ikx} + e ^ {- ikx} \ right) [/ math], que se simplifica a [math] \ cos (kx) = \ frac12 \ left (z ^ k + z ^ {- k} \ right) [/ math].

Cuando simplifica, obtiene una función racional de [matemáticas] z [/ matemáticas] tanto en el numerador como en el denominador. Luego puede resolver la integral utilizando el cálculo de residuos.