No estoy calificado para responder, pero no estaba satisfecho con las otras respuestas, así que busqué un poco. Esto es lo que aprendí.
El tema que está buscando se llama “álgebra topológica”. La Enciclopedia de las Matemáticas lo define como “La rama del álgebra que estudia las estructuras algebraicas topológicas, es decir, grupos, semi-grupos, anillos, celosías, espacios vectoriales, módulos y otros, equipados con topologías en las cuales las operaciones algebraicas consideradas son continuas”. En álgebra topológica, la estructura algebraica y la estructura topológica se definen en el mismo espacio. Los objetos estudiados se denominan grupos topológicos, anillos topológicos, campos topológicos, espacios vectoriales topológicos, etc. Tenga en cuenta que esto es bastante diferente de la topología algebraica, donde se usa una estructura algebraica para caracterizar un espacio topológico: los elementos de un grupo de homología no son elementos del espacio que caracteriza,
El álgebra topológica se originó a principios del siglo XX con el trabajo de matemáticos como Kurschak, von Dantzig, Haar y Banach. Sin embargo, el álgebra topológica nunca se ha convertido en un área importante de estudio por derecho propio. En cambio, la investigación inicial proporcionó una base para lo que hoy son líneas de investigación independientes en diversas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, el estudio de topologías en espacios vectoriales ahora es parte del análisis funcional. Los grupos de Lie son una forma de grupo topológico, pero la mayoría del trabajo en álgebra de Lie no se generaliza a álgebra topológica más amplia. Hay una línea de investigación dentro del análisis armónico abstracto que analiza el análisis en álgebra topológica. Una historia similar existe para la teoría de la representación; La teoría de la representación para los grupos de Lie y para los grupos en general son temas comunes; La teoría de la representación para grupos topológicos generales existe, pero es un tema más arcano.
Si planea ingresar a la escuela de posgrado y se toma en serio la búsqueda de esta área de investigación específica, debe seleccionar una escuela que tenga una facultad especializada en álgebra topológica o un tema estrechamente relacionado. No parece haber muchos de estos; de hecho, las únicas escuelas en los Estados Unidos con más de un miembro de la facultad que enumera el “álgebra topológica” como especialidad son Louisianna State University y la Universidad de Arkansas. Los resultados probablemente cambiarían si también buscara palabras clave para subespecialidades o temas específicos dentro del álgebra topológica, pero no tengo la experiencia para confiar en ampliar mi búsqueda de esa manera.
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Un poco puede resultarle útil: según mi muestreo no científico, la mayoría de los matemáticos que investigan en álgebra topológica son topólogos, junto con algunos analistas y solo unos pocos álgebristas. Eso sugiere que debería concentrar sus estudios en topología, no en álgebra.