¿Cuál es el valor máximo de [matemáticas] x ^ 3y ^ 3 + 3xy [/ matemáticas] cuando [matemáticas] x + y = 8? [/ Matemáticas]

Answer 1

x + y = 8

y = 8 – x

(x ^ 3) (y ^ 3) + 3 * x * y

=> (x ^ 3) * ((8-x) ^ 3) + 3 * x * (8-x)

Ahora, esta es una función en x cuyo valor máximo posible debe calcularse. Podemos usar el método derivado.

f (x) = (x ^ 3) * ((8-x) ^ 3) + 3 * x * (8-x)

La primera derivada de f (x) es 3 * (x ^ 2)) * ((8-x) ^ 3) – 3 * (x ^ 3)) * ((8-x) ^ 2) + 3 * (8 -x) – 3 * x

=> 3 * (x ^ 2) * ((8-x) ^ 2) * (8 – x – x) + 3 * (8 – x – x)

=> 3 * (x ^ 2) * ((8-x) ^ 2) * (8 – 2x) + 3 * (8 – 2x)

=> 3 * (8 – 2x) * ((x ^ 2) * ((8-x) ^ 2) + 1)

equiparar esto a cero nos da que x = 4.

Ahora, esto solo concluye el hecho de que encontraremos un punto que produce min o max. La segunda derivada de f (x) se calcula para x = 4 y si es negativa, entonces es un punto máximo, que es en este caso.

x = 4 da y = 4.

x ^ 3 * y ^ 3 + 3 * x * y

=> 4 ^ 3 * 4 ^ 3 + 3 * 4 * 4

=> 4096 + 48

=> 4144

Answer 2

Sea [math] f (x, y) = x ^ 3y ^ 3 + 3xy = xy ((xy) ^ 2 + 3) [/ math].
Ahora, [matemáticas] f (0, 0) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] f (1, 1) = 4 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] \ max f (x, y) \ geq 0 [/ math].
Tenga en cuenta que, [matemática] f (x, y) \ geq 0 [/ matemática] para [matemática] x, y \ geq 0 [/ matemática].
Y, [matemáticas] f (-x, -y) = f (x, y) [/ matemáticas] y [matemáticas] f (-x, y) = f (x, -y) = -f (x, y )[/matemáticas].

Por lo tanto, podemos restringir nuestra atención a solo [math] x, y \ geq 0 [/ math]. Ahora, tenga en cuenta que [math] f (x, y) [/ math] se maximiza cuando [math] xy [/ math] se maximiza. Por lo tanto, nuestro problema ahora es,

[matemática] \ max xy [/ matemática] tal que [matemática] x + y = 8 [/ matemática] y [matemática] x, y \ geq 0 [/ matemática].
Deje [math] g (x) = x (8 – x) [/ math]. Entonces, [matemáticas] g ‘(x) = 8 – 2x [/ matemáticas] y [matemáticas] g’ ‘(x) = – 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] xy [/ math] es máximo en [math] x = 4, y = 4 [/ math]. Por lo tanto, [math] f (x, y) [/ math] es máximo en [math] xy = 16 [/ math], lo que da [math] \ max f (x, y) = 16 ^ 3 + 3 \ times 16 = 4144 [/ matemáticas].

Answer 3

(* significa multiplicación, ^ significa exponenciación)
déjame asumir x> = 0 e y> = 0
=> (√x – √y) ^ 2> = 0
=> x + y-2√ (xy)> = 0
=> x + y> = 2√ (xy)
=> 2√ (xy) <= x + y
=> xy <= ((x + y) / 2) ^ 2
dado x + y = 8
=> xy <= 16 …………………………………………………………………………………… (1)
let z = xy …………………………………………………………………………………………. (2)
ahora considere la expresión dada
x ^ 3 * y ^ 3 + 3xy
=> (xy) ^ 3 + 3xy
reemplazar xy con z
=> z ^ 3 + 3z …………………………………………………………………………………… (3)
es función monotónicamente creciente
entonces tendrá un valor máximo siempre que z tenga un valor máximo
de la expresión dada x + y = 8, dedujimos (1) xy <= 16,
es decir, z <= 16
entonces el valor máximo de la expresión (3) está en z = 16
= (16) ^ 3 + 3 * 16 = 4144

Para otros casos:
si x <0 e y> = 0:
=> z <0 => z ^ 3 + 3 * z <0
si x> = 0 e y <0:
=> z <0 => z ^ 3 + 3 * z <0
si x <0 e y <0:
=> la suma de dos negativos siempre es negativa, por lo tanto, la expresión x + y = 8, nunca es válida

Answer 4

Entonces tenemos 2 números x e y cuya suma se da y necesitamos encontrar el valor máximo de –

x ^ 3 × y ^ 3 + 3 × (xy)

O (xy) ^ 3 + 3xy ————————– (1)

Está bastante claro que el valor máximo de la expresión anterior depende del valor máximo de (xy). Entonces maximizaremos (xy).

Pensemos en la naturaleza de x e y ahora.

• Si alguno de ellos es negativo, entonces su suma podría ser positiva o negativa, pero su producto definitivamente será negativo. Por lo tanto, esto no es deseable.
• Si ambos son negativos, entonces su producto será positivo pero la suma sería negativa. Por lo tanto, esto tampoco es deseable.
• Por encima de 2 puntos podemos asegurarnos de que tenemos que asumir que xey son números positivos.

La parte difícil ha terminado ahora.

Podemos usar AM> = GM

=> (x + y) / 2> = (xy) ^ 1/2

=> 4> = (xy) ^ 1/2

=> 16> = (xy)

Por lo tanto, el valor máximo de (xy) = 16

Sustituya este valor en la expresión dada en (1) –

(16) ^ 3 + 3 × (16)

= 4096 + 48

= 4144.

Answer 5

Por simple intuición podemos decir que dado que la ecuación es simétrica, es decir. las potencias de x e y son iguales, el valor máximo se obtendrá cuando x = y. Por lo tanto, de acuerdo con la condición x = y = 4. Sustituyendo los valores de x e y en la expresión, tenemos el valor máximo como 4144. Si los poderes habían sido diferentes, entonces podríamos haber recurrido a la base AM-GM