Un número complejo [matemática] z [/ matemática] del módulo 1 es una raíz de la unidad si [matemática] z ^ n = 1 [/ matemática], entonces son de la forma
[matemáticas]
z = \ exp \ left (i \ frac {k} {n} 2 \ pi \ right) \ quad k \ in \ mathbb {Z}
[/matemáticas]
Como cada punto del círculo unitario tiene la forma [matemática] e ^ {i \ theta} [/ matemática], la raíz de la unidad son aquellas donde [matemática] \ theta = q \, \ pi [/ matemática], con [matemáticas] q [/ matemáticas] un número racional. Entonces, por ejemplo, el número [math] e ^ {i \ sqrt {2} \ pi} [/ math] no es una raíz de la unidad, porque eso significaría que [math] \ sqrt {2} [/ math] es un número racional (que no lo es). Lo que sí es cierto es que las raíces de la unidad son un subconjunto denso del círculo unitario, esto significa que por cada [matemática] z [/ matemática] en el círculo unitario, puede encontrar una raíz de la unidad tan cerca como desee. En términos más rigurosos, si [math] z [/ math] es un número complejo con [math] | z | = 1 [/ math], luego dado [math] \ varepsilon> 0 [/ math] existe una raíz de unidad [math] \ omega [/ math] tal que [math] | z- \ omega | <\ varepsilon [ /matemáticas].
¿No hay una cantidad infinita de raíces de la unidad? Si es así, ¿no debería cada número [matemática] z [/ matemática] en el plano complejo tal que [matemática] | z | = 1 [/ matemáticas] ser una raíz de la unidad?
Hay un número infinito de raíces (enteras) de la unidad, pero ese es el infinito [math] \ aleph_0 [/ math]. El número de puntos en el plano complejo es un infinito mayor; Ciertamente es incontable. Pero puede ser mayor que incluso los números reales (tal vez alguien más informado que yo pueda comentar, por ejemplo, Alon Amit)
Otra forma de ver esto es que todas las raíces (reales) de la unidad (incluso las irracionales) se encuentran en el círculo unitario en el plano complejo. Ese círculo nunca puede llenar todo el plano, solo puede llenar una parte infinitesimal de él. Los puntos en ese círculo son un infinito incontable, pero (creo) aún más bajos que los puntos en el avión.
Un número complejo [math] \ omega [/ math] es una raíz de la unidad si hay algún número entero positivo [math] n [/ math] tal que [math] \ omega ^ n = 1 [/ math]. A partir de aquí, es casi inmediato que cada raíz de la unidad tenga la forma [math] \ exp \ left (2k \ pi i / n \ right) [/ math] para algunos [math] n \ in \ mathbb {Z} _ {++} [/ math] y [math] k \ in \ {0, 1, \ dots, n – 1 \} [/ math]. Cualquier punto en el círculo unitario que no sea de esta forma no es una raíz de la unidad.
No; Es fácil ver que solo puede haber innumerables raíces de la unidad, pero hay innumerables puntos en el círculo de la unidad.