Mi profesor de cálculo dijo que es imposible integrar la función [matemáticas] \ sin (x ^ 2) [/ matemáticas]. ¿Cómo, entonces, es mi calculadora gráfica TI-84 capaz de encontrar el área debajo de su curva entre dos puntos?

Probablemente lo que su maestro quiso decir es que esta función no tiene una función Antiderivada o primitiva, lo que significa que es imposible evaluar la integral indefinida. Entonces, como no hay una función primitiva, no puede integrar la integral definida [math] sin (x ^ 2) [/ math] analíticamente.
Lo que hace su calculadora (y usted también puede hacer) es aplicar métodos numéricos para encontrar el valor de la integral definida. Es solo lo que ves cuando tu maestro define integral como una suma infinita (o suma de Riemann). Básicamente, suma un montón de rectángulos, trapecios o incluso piezas infinitesimales de funciones de segundo grado para encontrar el área bajo esa curva. (Consulte la regla de Simpson)

Hay un sitio web que hace estos cálculos de manera explícita, vea la imagen a continuación:


Esa es la gráfica de [math] sin (x ^ 2) [/ math], y la integral definida de 0 a [math] pi [/ math] se aproxima a [math] 0.794576979982 [/ math], pero eso parece un poco aproximado aproximación, ya que estoy usando solo 20 rectángulos. Si uso 100 rectángulos, se verá así:


Ahora, el resultado de la integral es [matemática] 0.778944061317 [/ matemática], su calculadora podría estar usando un método diferente (usando pequeños trapecios, o lo que sea), y por lo tanto, podría estar llegando a resultados más precisos.

El sitio web que utilicé fue:
https://www.desmos.com/calculato…

TL; DR: puede encontrar el área bajo la curva de cualquier función, pero a veces puede llevar más de [matemática] F (b) – F (a) [/ matemática] para alcanzar ese resultado

Lo que su maestro quiso decir es que [matemáticas] \ int \ sin x ^ 2 \, dx [/ matemáticas] no puede expresarse en forma cerrada en términos de funciones elementales. Obviamente la función es integrable, ya que es continua.

Tu calculadora hace trampa, y tú también puedes.

Comience graficando la parte interesante de la función en una hoja de papel grande.
Ahora tome una regla y márquela para que la curva se corte en tiras verticales. Luego, dibuje una línea horizontal donde el lado izquierdo de cada tira se encuentre con la curva. Esta línea horizontal y el eje horizontal cortarán la tira en un rectángulo. Todos sabemos cómo encontrar el área de un rectángulo. Repita para todas las tiras y sume los valores de las tiras.

Su respuesta no será perfecta, porque cada parte de la curva tendrá un pequeño triángulo que cuelga sin medida. Incluso con este error, su valor estará cerca. Si el error es inaceptable para usted, puede hacerlo más pequeño utilizando tiras más estrechas.

Como dijo Steven Dang, esto se llama https://en.wikipedia.org/wiki/Ri

Para algunas ecuaciones puedes calcular la integral con precisión. Esa es la integración regular que estás acostumbrado a ver. Para otras funciones esto es difícil o incluso imposible. Para estos casos difíciles, puede utilizar el método de la tira para obtener una respuesta lo suficientemente buena.

… Para hacerlo matemáticamente (en inglés) … divida el área entre sus valores inferior y superior de X en un número de puntos equidistantes. Calcule el valor de su función para cada uno de los puntos, incluido el límite inferior, excluyendo el límite superior. Multiplique cada valor calculado por la distancia entre los dos puntos adyacentes, y finalmente sume los valores multiplicados.

En primer lugar, es un error pensar que algunas funciones particulares son integerables y otras no.
Como integración significa encontrar una función cuya tasa de cambio wrt para cambiar en una variable independiente particular es la función dada, y dicha curva siempre existe.
Para probar mi punto, supongamos un camino largo sin extremos (que simboliza el eje y, es decir, el eje de posición). Deje que se coloque un automóvil (inicialmente t = 0, está en reposo) en cualquier lugar de la carretera. Ahora el automóvil está programado de tal manera que la velocidad del automóvil en cualquier momento t sea cos (t).
Ahora, de alguna manera, podemos registrar la posición del automóvil en la carretera en cada instante que se mueve en automóvil.
Cuando graficamos la posición del automóvil a lo largo del eje yy el tiempo a lo largo del eje x obtenemos una curva (continua, ya que se ha tenido en cuenta cada dt; diferenciable, ya que prácticamente no es posible realizar cambios bruscos en la velocidad).
Esta curva es en realidad ∫cos (t) dt. Ahora, como esta curva tiene una semejanza completa con la curva predefinida de sin (t), por lo tanto, decimos que – ∫cos (t) dt = sin (t) + c.
Aquí c es cualquier constante arbitraria ya que el automóvil podría haber sido colocado en cualquier lugar de la carretera.
Supongamos ahora que desconocemos la función sin (t) de lo que diríamos que cos (t) no es integerable.
La misma analogía es válida para la pregunta de si sinx2 es integerable o no. Por lo tanto, debemos preguntarnos si hay una función predefinida cuya derivada sea sen x ^ 2 o no.
Por lo tanto, todo depende de si el entero de la función dada ya se ha definido matemáticamente o no.
Por ejemplo, erf (x) se usa para definir ∫e ^ x ^ 2 dx.

Por lo tanto, la calculadora gráfica puede calcular el área debajo de la curva sin siquiera definir la función, mediante algunos métodos de aproximación.

Usando las leyes, identidades y técnicas de integración que todos aprendimos en el cálculo, la función no puede integrarse.

Las calculadoras, así como la mayoría de los programas analíticos (es decir, Wolfram, Mathematica) utilizan técnicas de aproximación como las sumas de Riemann. Para más información:

Suma de Riemann

Es posible integrar [math] x \ mapsto sin (x ^ 2) [/ math], por ejemplo [math] x \ mapsto \ int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt [/ math] es una antiderivada. El problema es que no puedes expresar su antiderivada con la función habitual.
Su TI siempre puede aproximar el área bajo la curva de una función continua. Hay muchos métodos para hacerlo, el más famoso es el método de rectángulo: método de rectángulo

[matemáticas] pecado (x ^ 2) [/ matemáticas]? No dirá que la integral del pecado (x) es cos (x). Pero solo le dirá si le da límites int [sin (x), 0,2pi]. Está usando algo llamado análisis numérico. Las computadoras usan métodos iterativos. Por ejemplo, para calcular una integral, si se utiliza el método rectangular, la función se aproxima a rectángulos de anchos definidos y luego a áreas de cada rectángulo.

Cuando tomé el cálculo, mis maestros dijeron lo mismo. Me tomó un tiempo reconocer que por ‘no integrable’ querían decir ‘no integrable en términos de funciones elementales’.

Otras respuestas ya han dicho esto, pero lo repito porque es una falta de comunicación tan frecuente que todos los maestros y los libros de texto deben hacer este punto para que los estudiantes no tengan que preguntarse por qué una función que satisface las condiciones para la integrabilidad ‘no es integrable’.

Cualquier función acotada continua en un intervalo cerrado es Riemann integrable (estas son condiciones suficientes). El conjunto de funciones integrables es mayor que el conjunto de diferenciables, aunque la diferenciación (ser local) es más fácil de hacer.

Su calculadora está calculando la integral de una función integrable y no reconoce ni necesita reconocer que la función no es integrable en términos de funciones elementales.

Fresnel integral