Probablemente lo que su maestro quiso decir es que esta función no tiene una función Antiderivada o primitiva, lo que significa que es imposible evaluar la integral indefinida. Entonces, como no hay una función primitiva, no puede integrar la integral definida [math] sin (x ^ 2) [/ math] analíticamente.
Lo que hace su calculadora (y usted también puede hacer) es aplicar métodos numéricos para encontrar el valor de la integral definida. Es solo lo que ves cuando tu maestro define integral como una suma infinita (o suma de Riemann). Básicamente, suma un montón de rectángulos, trapecios o incluso piezas infinitesimales de funciones de segundo grado para encontrar el área bajo esa curva. (Consulte la regla de Simpson)
Hay un sitio web que hace estos cálculos de manera explícita, vea la imagen a continuación:
Esa es la gráfica de [math] sin (x ^ 2) [/ math], y la integral definida de 0 a [math] pi [/ math] se aproxima a [math] 0.794576979982 [/ math], pero eso parece un poco aproximado aproximación, ya que estoy usando solo 20 rectángulos. Si uso 100 rectángulos, se verá así:
Ahora, el resultado de la integral es [matemática] 0.778944061317 [/ matemática], su calculadora podría estar usando un método diferente (usando pequeños trapecios, o lo que sea), y por lo tanto, podría estar llegando a resultados más precisos.
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El sitio web que utilicé fue:
https://www.desmos.com/calculato…
TL; DR: puede encontrar el área bajo la curva de cualquier función, pero a veces puede llevar más de [matemática] F (b) – F (a) [/ matemática] para alcanzar ese resultado