¿Qué significan básicamente los coeficientes en polinomios?

Answer 1

No hay un significado fijo, incluso en el caso de ax + b. Hay diferentes significados en diferentes contextos.

En una cuadrática interpretada como una parábola, [matemática] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemática], [matemática] c [/ matemática] sigue siendo la intersección en y. [matemática] a [/ matemática] es un factor de escala que controla qué tan rápido se barren los brazos hacia arriba (o hacia abajo) y, por lo tanto, la dirección general. Otra forma de interpretarlo como proporcional a la distancia focal. [matemáticas] b [/ matemáticas] es más difícil de interpretar geométricamente:

El aumento de b mueve el vértice de la parábola hacia la izquierda y hacia abajo, mientras que la disminución se mueve hacia la derecha y hacia arriba. Pero el efecto exacto depende de la ecuación en su conjunto. Una parábola con directriz [matemática] y = -p [/ matemática] y vértice en [matemática] h, k [/ matemática] tiene la fórmula [matemática] (xh) ^ 2 = 4p (yk) [/ matemática], nosotros con un poco de álgebra podemos ver

[matemáticas] a = \ frac {1} {4p} [/ matemáticas]
[matemáticas] b = – \ frac {h} {2p} [/ matemáticas]
[matemáticas] c = k + \ frac {h ^ 2} {4p} [/ matemáticas]

Es posible llevar a cabo el mismo tipo de análisis en polinomios de grado superior (y sus gráficos), pero en general esos gráficos son más difíciles de describir desde un punto de vista geométrico.

También puede adoptar un enfoque de cálculo y observar que el término constante en la derivada [math] n [/ math] th (o, de manera equivalente, el valor de la enésima derivada en 0) es igual a [math] n! A_n [/ math] , donde [math] a_n [/ math] es el coeficiente de [math] x ^ n [/ math].

Me gusta adoptar el enfoque de que los polinomios son solo una serie de potencias donde la mayoría de los valores son cero. 🙂 Los coeficientes pueden interpretarse como recuentos de objetos en aplicaciones combinatorias. Por ejemplo, supongamos que tenemos 24 personas y queremos elegir [matemáticas] n [/ matemáticas] para un comité. El número de formas en que podemos formar un comité de [matemáticas] n [/ matemáticas] es exactamente el coeficiente de [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas] en [matemáticas] (1 + x) ^ {24} [/ matemáticas]. Naturalmente, en este caso, es la misma respuesta que obtiene directamente de la combinatoria básica: [math] {24 \ choose n} [/ math].

Answer 2

Gracias por A2A.

Algebraicamente representan ciertas expresiones simétricas elementales en términos de raíces de un polinomio, ver las fórmulas de Vieta. Por ejemplo, un coeficiente libre es [matemática] (- 1) ^ n [/ matemática] veces producto de las raíces.

Analíticamente, puede calcular la expansión de Taylor de un polinomio [matemático] p [/ matemático] (o su equivalente algebraico) en [matemático] 0 [/ matemático].

Entonces, si [matemáticas] p = x ^ n + a_ {n-1} x_ {n-1} + a_ {n-2} x_ {n-2} + \ ldots + a_ {0} [/ matemáticas], usted obtener [matemáticas] a_ {i} = \ frac {p ^ {(i)} (0)} {i!}, [/ matemáticas]
donde [math] p ^ {(n)} (0) [/ math] significa [math] n [/ math] th derivada en el punto [math] 0 [/ math].

En particular, [matemáticas] a_0 = p (0), a_1 = p ‘(0), a_2 = \ frac {p’ ‘(0)} {2} [/ matemáticas], etc.
Por lo tanto, puede leer la información sobre su evaluación de [matemática] p [/ matemática] en [matemática] 0 [/ matemática] así como sobre sus derivados en [matemática] 0 [/ matemática] en base a sus coeficientes . Describe completamente cómo se comporta una función polinómica cerca de [math] 0 [/ math]; para un polinomio también determinaría su comportamiento en otros lugares.

El coeficiente de la potencia más alta le proporciona básicamente una escala (como en física, puede medir en diferentes unidades). En realidad, puede dividir por ya que solo su signo importa en muchos problemas.

Answer 3

Puede considerar que se refieren a tasas de cambio. El término constante al final describe la altura de la curva, el término lineal describe la tasa de cambio de la altura (el gradiente), el término cuadrático describe la tasa de cambio del gradiente, y así sucesivamente.