¿Cuántos valores de k pueden determinarse en general, de modo que [matemática] (\ frac {k} {p}) = (\ frac {k + 1} {p}) = 1 [/ matemática] donde [matemática] 1 \ leq k \ leq p-1 [/ math]?

Answer 1

Sabemos por impar primo p,
[matemática] \ left (\ frac {k} {p} \ right) = k ^ {(p-1) / 2} (mod ~ p) [/ math] y [math] \ left (\ frac {k} {p} \ right) \ in \ {- 1,0,1 \} [/ math].
Tenga en cuenta que [math] p-1 \ notin C [/ math] donde [math] C [/ math] denota el conjunto de interés. Que da lo siguiente

[matemática] C (p) = \ frac {1} {4} \ sum_ {i = 1} ^ {p-2} \ left (\ left (\ frac {i} {p} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {i} {p} \ right) \ right) \ cdot [/ math]
[matemáticas] \ left (\ left (\ frac {i + 1} {p} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {i + 1} {p} \ right) \ right) [/ math]

Por la propiedad multiplicativa del símbolo Legendre, la definición del símbolo Legendre
[matemática] \ left (\ frac {i} {p} \ right) ^ 2 = i ^ {p-1} (mod ~ p) = 1 [/ math]

[matemáticas] C (p) = \ frac {1} {4} \ sum_ {i = 1} ^ {p-2} \ left (1+ \ left (\ frac {i} {p} \ right) \ right ) \ cdot \ left (1+ \ left (\ frac {i + 1} {p} \ right) \ right) [/ math]

También sabemos que
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {p-1} \ left (\ frac {i} {p} \ right) = 0 [/ math]

Entonces, [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {p-2} \ left (\ frac {i} {p} \ right) = – (- 1) ^ {(p-1) / 2} = ( -1) ^ {(p + 1) / 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {p-2} \ left (\ frac {i + 1} {p} \ right) = – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {p-1} \ left (\ frac {i} {p} \ right) \ left (\ frac {i + 1} {p} \ right) = – 1 [ /matemáticas]

(Para la explicación al tercero, vaya a este enlace ¿Cómo calcular tales sumas de símbolos Legendre?)

[matemáticas] C (p) = \ frac {1} {4} \ left (p-2 + (- 1) ^ {(p-1) / 2} -1-1 \ right) [/ math]