¿Cómo evaluaría la integral [matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- a} ^ {La} \ frac {{\ lambda} b} {4 {\ pi} {\ varepsilon} (x ^ 2 + b ^ 2) ^ {3/2}} \, dx [/ math]?

Answer 1

La sustitución trigonométrica funcionaría. Deje [math] x = btan (\ theta) [/ math].
Entonces la integral se convierte en [matemáticas] \ int \ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon (b ^ 2 (1 + tan (\ theta)) ^ \ frac {3} {2}} d \ theta b ( 1 + tan (\ theta) ^ 2) [/ math]
[matemáticas] = \ int \ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon (b ^ 2 (1 + tan (\ theta) ^ 2) ^ \ frac {1} {2}} d \ theta [/ math ]
[matemáticas] = \ int \ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon} \ frac {1} {sec (\ theta)} d \ theta [/ math]
[matemáticas] = \ int \ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon} cos (\ theta) d \ theta = \ frac {\ lambda sin (\ theta)} {4 \ pi \ epsilon} [/ math]
Como [math] tan (\ theta) = \ frac {x} {b} [/ math], entonces [math] sin (\ theta) = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + b ^ 2} }[/matemáticas]. Sustituya de nuevo el resultado [math] \ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon} \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + b ^ 2}} [/ math].
Conecte los límites superior e inferior, y la respuesta es [matemáticas] \ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon} (\ frac {La} {\ sqrt {(La) ^ 2 + b ^ 2}} + \ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}) [/ math]