¿Existen formas cerradas para [math] \ sum_ {n = 0} ^ N2 ^ {n ^ 2} [/ math]?

Answer 1

Gracias por A2A, Paul. Nunca he pensado en este tipo de cosas (y supongo que esto es difícil), por lo que solo puedo dar una respuesta dudosa que tal vez solo sea un poco más fuerte que “No sé. No tengo la menor idea”.

No creo que [math] 2 [/ math] desempeñe ningún papel especial si existiera una forma cerrada, existiría en general para la expresión [math] \ sum_ {n = 0} ^ {N} q ^ {n ^ 2 }[/matemáticas].

Suponga que hay una forma cerrada e intente calcular la integral [math] \ int_ {0} ^ {x} 2 ^ {t ^ 2} dt [/ math] usando sumas de Riemann.

La suma de Riemann se ve como [matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ {N} 2 ^ {\ left (\ frac {ix} {N} \ right) ^ 2} \ frac {1} {N} [/ math ] para [matemáticas] N \ to \ infty [/ matemáticas].

Reemplazando [math] q_ {N, x} = 2 ^ {\ left (\ frac {x} {N} \ right) ^ 2} [/ math] se reducirá a la computación [math] \ lim_ {N \ to \ infty} \ sum_ {i = 0} ^ {N} {(q_ {N, x})} ^ {i ^ 2} \ frac {1} {N}. [/ math]

Si hubiera una forma cerrada, este límite probablemente habría sido calculado, no último por la gente de Quora, y habría habido una forma cerrada para la integral.
Pero existe el Teorema de Liouville http://www.sci.ccny.cuny.edu/~ks…
lo que permite inferir que tales integrales no son computables en términos de funciones elementales.

Esto me hace creer que no hay una forma cerrada.

Además, esta suma es interesante en términos de convergencia 2-adic ya que converge muy rápido. Si uno tuviera una descripción precisa y agradable de qué es exactamente una forma cerrada, uno podría intentar comparar su tasa de convergencia con una forma cerrada.

Actualización: Sería interesante entender la conexión de esta expresión y la función Theta. La existencia de una forma cerrada para esta expresión probablemente implicaría que uno podría calcular [math] \ vartheta (0, \ tau) [/ math]. Y la suma infinita correspondiente tendría sentido en la configuración 2-adic.

Answer 2

Es el número de gráficos dirigidos en N o menos nodos etiquetados, si se permiten auto-bucles.

1,2,16,512 – OEIS
1,3,19,531 (sin resultados) – OEIS

(Nada aritmético, por lo que puedo decir).