Una secuencia de números reales es Cauchy si y solo si converge a un límite. Entonces, en lugar de limitar [math] | q_m – q_n | [/ math], simplemente podría mostrar que la secuencia [math] q_n [/ math] es convergente como [math] n \ to \ infty. [/ Math] Unidireccional de hacer eso es lo siguiente. Usa el teorema binomial para escribir
[matemática] \ izquierda (1 + \ frac {1} {n} \ derecha) ^ n [/ matemática]
[matemáticas] = {n \ elegir 0} + {n \ elegir 1} \ frac {1} {n} + {n \ elegir 2} \ frac {1} {n ^ 2} + \ ldots + {n \ elegir n} \ frac {1} {n ^ n} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 + \ left (1 – \ frac {1} {n} \ right) \ frac {1} {2!} + \ left (1 – \ frac {1} {n} \ right) \ left (1 – \ frac {2} {n} \ right) \ frac {1} {3!} + {} [/ Math]
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[matemáticas] \ ldots + \ left (1 – \ frac {1} {n} \ right) \ ldots \ left (1 – \ frac {n-1} {n} \ right) \ frac {1} {n! } \, .[/matemáticas]
De la última expresión vemos que los términos [math] q_n [/ math] forman una secuencia monotónicamente creciente, y están delimitados desde arriba por
[matemáticas] 2 + \ frac {1} {2 ^ 1} + \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {2 ^ 3} + \ ldots = 3. [/ matemáticas]
Cualquier secuencia monotónicamente creciente que esté limitada desde arriba es convergente. Entonces [math] q_n [/ math] es una secuencia convergente, entonces es una secuencia de Cauchy.