Dado que [matemáticas] a + b + c [/ matemáticas] es una constante, ¿cómo puedo mostrar que [matemáticas] abc + a ^ 2b + a ^ 2c + b ^ 2a + b ^ 2c + c ^ 2a + c ^ 2b [/ matemáticas ] alcanza su máximo para [matemáticas] a = b = c [/ matemáticas]?

Answer 1

La declaración en este formulario es ciertamente errónea. ( Actualización: en la pregunta original [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] eran arbitrarias, no necesariamente no negativas).

Tenga en cuenta que
[matemáticas] \ dfrac {a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3} {3} + a ^ 2b + a ^ 2c + b ^ 2a + b ^ 2c + c ^ 2a + c ^ 2b + 2abc = \ dfrac {(a + b + c) ^ 3} {3}. [/matemáticas]

Entonces nosotros tenemos:
[matemáticas] abc + a ^ 2b + a ^ 2c + b ^ 2a + b ^ 2c + c ^ 2a + c ^ 2b = \ dfrac {\ text {constante} ^ 3} {3} – \ dfrac {a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3} {3} -abc [/ matemáticas]

En particular, este problema es equivalente a minimizar la expresión

[matemáticas] g (a, b, c) = a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc [/ matemáticas]

Al elegir [matemáticas] a = b = d> 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] c = 1-2d [/ matemáticas] y [matemáticas] \ text {constante} = 1 [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] g (a, b, c) = d ^ 3 + d ^ 3 + (1-2d) ^ 3 -3d ^ 2 (2d-1). [/ matemáticas]

Este es un polinomio en [matemáticas] d [/ matemáticas] con el término principal [matemáticas] -12 d ^ 3 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] g [/ math] no tiene límites desde abajo (por cierto también desde arriba, considere [math] d \ to \ pm \ infty [/ math]).

Sin embargo, este problema tiene sentido si [math] a, b, c \ geq 0 [/ math].

Dado que la igualdad es homogénea WLOG [matemática] a + b + c = 1 [/ matemática].
Como [math] g (a, b, c) [/ math] es simétrico, WLOG [math] a \ geq b \ geq c [/ math].

Además, suponemos primero que [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] son ​​lados de un triángulo, es decir, [matemáticas] a \ leq b + c [/ matemáticas] que es equivalente a [matemáticas] a \ leq \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas].

Por lo tanto, queremos mostrar que

[matemáticas] g (a, b, c) \ geq g \ left (\ dfrac {1} {3}, \ dfrac {1} {3}, \ dfrac {1} {3} \ right) = \ dfrac { 2} {9}. [/ Matemáticas]

Tenemos:

[matemáticas] g (a, b, c) = a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc = a (a ^ 2 + bc) + b (b ^ 2 + ac) + c (c ^ 2 + ab) [/ matemáticas]

Tenemos [math] a ^ 2 + bc – b ^ 2 -ac = (ab) (a + bc) \ geq 0 [/ math].

Usando eso [matemática] a \ leq b + c [/ matemática] obtenemos también:

[matemáticas] b ^ 2 + ac – (c ^ 2 + ab) = (bc) (b + ca) \ geq 0 [/ matemáticas].

Por lo tanto, tenemos [matemáticas] a ^ 2 + bc \ geq b ^ 2 + ac \ geq c ^ 2 + ab [/ matemáticas] siempre que [matemáticas] a \ geq b \ geq c [/ matemáticas] y [matemáticas] a, b, c [/ math] son ​​lados de un triángulo.

Ahora, usando la desigualdad de suma de Chebyshev (se deduce directamente de la desigualdad de reordenamiento) obtenemos:

[matemáticas] a (a ^ 2 + bc) + b (b ^ 2 + ac) + c (c ^ 2 + ab) \ geq \ dfrac {1} {3} (a + b + c) (a ^ 2 + bc + b ^ 2 + ac + c ^ 2 + ab) = \ dfrac {1} {3} (a ^ 2 + bc + b ^ 2 + ac + c ^ 2 + ab) [/ math]

Además, tenemos:
[matemáticas] \ dfrac {1} {3} (a ^ 2 + bc + b ^ 2 + ac + c ^ 2 + ab) = \ dfrac {1} {6} \ left ((a + b) ^ 2 + (a + c) ^ 2 + (b + c) ^ 2 \ right). [/ math]

Ahora, usando la convexidad de [math] x \ mapsto x ^ 2 [/ math] (Jensen’s_Inequality Art of Problem Solving) obtenemos:

[matemáticas] \ dfrac {1} {6} \ left ((a + b) ^ 2 + (a + c) ^ 2 + (b + c) ^ 2 \ right) \ geq \ dfrac {1} {2} \ left (\ dfrac {a + b + a + c + b + c} {3} \ right) ^ 2 = \ dfrac {1} {2} \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ 2 = \ dfrac {2} {9}. [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Queda por considerar el caso [math] a \ geq \ frac {1} {2} [/ math] que corresponde a la situación cuando [math] a, b, c [/ math] no son lados de un triángulo.

Probablemente, esta no es la forma más corta de probarlo, pero quería mostrar que este problema es incorrecto como se dijo. En particular, se debe tener más cuidado al usar multiplicadores de Lagrange, ya que requiere argumentos adicionales.

Answer 2

Sea [matemáticas] f (a, b, c) = abc + {a ^ 2} b + {a ^ 2} c + {b ^ 2} [/ matemáticas] [matemáticas] a + {b ^ 2} c + {c ^ 2} a + {c ^ 2} b [/ matemáticas]

Sabemos que [matemática] f (a, b, c) [/ matemática] alcanza un máximo donde [matemática] \ nabla f (x, y, z) = \ vec {0} [/ matemática] para un cierto punto [ matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas].

Ahora, debe saber que [matemáticas] \ nabla f = (\ frac {\ partial f} {\ partial a}, \ frac {\ partial f} {\ partial b}, \ frac {\ partial f} {\ partial c}) [/ math] donde

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial a} = {b ^ 2} + {c ^ 2} + 2ab + 2ac + bc [/ matemática]
[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial b} = {a ^ 2} + {c ^ 2} + 2ab + ac + 2bc [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial c} = {a ^ 2} + {b ^ 2} + ab + 2ac + 2bc [/ matemáticas]

Vamos a resolver las 3 ecuaciones 3 sistema de incógnitas

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial a} = {b ^ 2} + {c ^ 2} + 2ab + 2ac + bc = 0 [/ matemática]
[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial b} = {a ^ 2} + {c ^ 2} + 2ab + ac + 2bc = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial c} = {a ^ 2} + {b ^ 2} + ab + 2ac + 2bc = 0 [/ matemáticas]

Al tomar las diferencias entre cada derivado parcial, obtenemos el nuevo sistema

[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial a} – \ frac {\ partial f} {\ partial b} = 0 – 0 = – {a ^ 2} + {b ^ 2} + ac – bc [ /matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial a} – \ frac {\ partial f} {\ partial c} = 0 – 0 = – {a ^ 2} + {c ^ 2} + ab – bc [ /matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial b} – \ frac {\ partial f} {\ partial c} = 0 – 0 = – {b ^ 2} + {c ^ 2} + ab – ac [ /matemáticas]

Ahora, inserte cualquier [matemática] a, b, c [/ matemática] donde [matemática] a = b = c [/ matemática] en esas 3 ecuaciones y observe que de hecho [matemática] \ nabla f (a, b, c) = \ vec {0}. [/ matemáticas]

Por ejemplo, tomando [matemáticas] b = a [/ matemáticas] y [matemáticas] c = a [/ matemáticas], obtenemos

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial a} – \ frac {\ parcial f} {\ parcial b} [/ matemática] [matemática] = 0 – 0 = – {a ^ 2} + {a ^ 2} + aa – aa = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial a} – \ frac {\ partial f} {\ partial c} [/ matemática] [matemática] = 0 – 0 = – {a ^ 2} + {a ^ 2} + aa – aa = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial b} – \ frac {\ partial f} {\ partial c} [/ matemáticas] [matemáticas] = 0 – 0 = – {a ^ 2} + {a ^ 2} + aa – aa = 0 [/ matemáticas]

Answer 3

Por la desigualdad de Schur,
[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc \ ge [/ matemáticas] [matemáticas] a ^ 2b + a ^ 2c + b ^ 2a + b ^ 2c + c ^ 2a + c ^ 2b [/ matemáticas]
y por AM-GM
[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 \ ge 3abc. [/ matemáticas]
Agregar [matemática] 6 [/ matemática] veces la primera desigualdad al segundo rendimiento
[matemáticas] 7 (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3) + 15abc \ ge [/ matemáticas] [matemáticas] 6 (a ^ 2b + a ^ 2c + b ^ 2a + b ^ 2c + c ^ 2a + c ^ 2b [/ matemáticas]
entonces
[matemáticas] 7 (a + b + c) ^ 3 = [/ matemáticas] [matemáticas] 7 (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3) + [/ matemáticas] [matemáticas] 21 (a ^ 2b + a ^ 2c + b ^ 2a + b ^ 2c + c ^ 2a + c ^ 2b) [/ matemáticas] [matemáticas] + 42abc \ ge [/ matemáticas] [matemáticas] 27 (a ^ 2b + a ^ 2c + b ^ 2a + b ^ 2c + c ^ 2a + c ^ 2b + abc) [/ matemáticas]
La igualdad se cumple cuando se cumple tanto en Schur como en AM-GM, es decir, cuando [math] a = b = c [/ math]. Entonces, para una [matemática] fija a + b + c [/ matemática], la expresión alcanza su máximo cuando las tres variables son iguales.

Answer 4

Aquí, a = b = c. Si a = b = c = 0, entonces no hay valor. Entonces, podemos concluir que a, b, c,> 0. De esta manera, puede mostrar que la expresión dada alcanza su valor máximo