¿Qué es un ejemplo de automorfismo? Educación te da un futuro mejor

AUTOMOFISMO

La definición exacta de un automorfismo depende del tipo de “objeto matemático” en cuestión y de lo que, precisamente, constituye un “isomorfismo” de ese objeto. El escenario más general en el que estas palabras tienen significado es una rama abstracta de las matemáticas llamada teoría de categorías. La teoría de categorías se ocupa de objetos abstractos y morfismos entre esos objetos.

En la teoría de categorías, un automorfismo es un endomorfismo (es decir, un morfismo de un objeto en sí mismo) que también es un isomorfismo (en el sentido categórico de la palabra).

Esta es una definición muy abstracta ya que, en la teoría de categorías, los morfismos no son necesariamente funciones y los objetos no son necesariamente conjuntos. Sin embargo, en la mayoría de los entornos concretos, los objetos serán conjuntos con alguna estructura adicional y los morfismos serán funciones que preservarán esa estructura.

En el contexto del álgebra abstracta, por ejemplo, un objeto matemático es una estructura algebraica como un grupo, anillo o espacio vectorial. Un isomorfismo es simplemente un homomorfismo biyectivo. (La definición de un homomorfismo depende del tipo de estructura algebraica; véase, por ejemplo, homomorfismo de grupo, homomorfismo de anillo y operador lineal).

El morfismo de identidad (mapeo de identidad) se llama automorfismo trivial en algunos contextos. Respectivamente, otros automorfismos (no identitarios) se denominan automorfismos no triviales.

Ejemplos:

En la teoría de conjuntos, una permutación arbitraria de los elementos de un conjunto X es un automorfismo. El grupo de automorfismo de X también se llama grupo simétrico en X.

En los rompecabezas, el automorfismo existe cuando los elementos del rompecabezas tienen un tipo de simetría entre los elementos y sus posiciones, como un Sudoku automórfico.

En aritmética elemental, el conjunto de enteros, Z, considerado como un grupo adicional, tiene un automorfismo no trivial único: la negación. Considerado como un anillo, sin embargo, solo tiene el automorfismo trivial. En términos generales, la negación es un automorfismo de cualquier grupo abeliano, pero no de un anillo o campo.

Un automorfismo grupal es un isomorfismo grupal de un grupo a sí mismo. Informalmente, es una permutación de los elementos del grupo de tal manera que la estructura permanece sin cambios. Para cada grupo G hay un grupo natural homomorfismo G → Aut (G) cuya imagen es el grupo Inn (G) de automorfismos internos y cuyo núcleo es el centro de G. Por lo tanto, si G tiene un centro trivial, puede integrarse en su propio grupo de automorfismo. [1]

En álgebra lineal, un endomorfismo de un espacio vectorial V es un operador lineal V → V. Un automorfismo es un operador lineal invertible en V. Cuando el espacio vectorial es de dimensión finita, el grupo de automorfismo de V es el mismo que el lineal general grupo, GL (V).

Un ejemplo de automorfismo es una transformación de similitud, que deja la forma geométrica de una figura sin cambios. [2]

Un automorfismo de campo es un homomorfismo de anillo biyectivo de un campo a sí mismo. En los casos de los números racionales (Q) y los números reales (R) no hay automorfismos de campo no triviales. Algunos subcampos de R tienen automorfismos de campo no triviales, que sin embargo no se extienden a todo R (porque no pueden preservar la propiedad de un número que tiene una raíz cuadrada en R). En el caso de los números complejos, C, hay un automorfismo no trivial único que envía R a R: conjugación compleja, pero hay infinita (incontable) muchos automorfismos “salvajes” (asumiendo el axioma de elección). [3] [4 ] Los automorfismos de campo son importantes para la teoría de las extensiones de campo, en particular las extensiones de Galois. En el caso de una extensión de Galois L / K, el subgrupo de todos los automorfismos de L que fijan K puntiagudos se llama el grupo de Galois de la extensión.

El grupo de automorfismos de los cuaterniones (H) como anillo son los automorfismos internos, según el teorema de Skolem-Noether: mapas de la forma a ↦ bab − 1. [5]

En la teoría de gráficos, un automorfismo de un gráfico es una permutación de los nodos que preserva los bordes y los no bordes. En particular, si dos nodos están unidos por un borde, también lo están sus imágenes bajo la permutación.

En geometría, un automorfismo puede llamarse un movimiento del espacio. También se usa terminología especializada:

En geometría métrica, un automorfismo es una autoisometría. El grupo de automorfismo también se llama grupo de isometría.

En la categoría de superficies de Riemann, un automorfismo es un mapa biholomorfo biyectivo (también llamado mapa conforme), desde una superficie a sí mismo. Por ejemplo, los automorfismos de la esfera de Riemann son transformaciones de Möbius.

Un automorfismo de una variedad M diferenciable es un difeomorfismo de M a sí mismo. El grupo de automorfismo a veces se denomina Diff (M).

En topología, los morfismos entre espacios topológicos se denominan mapas continuos, y un automorfismo de un espacio topológico es un homeomorfismo del espacio en sí mismo, o auto-homeomorfismo (ver grupo de homeomorfismo). En este ejemplo, no es suficiente que un morfismo sea biyectivo para ser un isomorfismo