¿Cuál es la relación entre la expresión x log (x) y las series del tipo (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 …)?

Answer 1

Como ya sabrá, la suma diverge, lo que significa que no está limitada (tiende al infinito). Pero hay muchas formas en las que una función puede tender al infinito ([matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] n ^ 2 [/ matemáticas] son ​​diferentes en ese sentido, por ejemplo)
[math] \ sum 1 / n [/ math] tiende al infinito asintomáticamente con el mismo comportamiento que [math] log (n) [/ math]. Esto significa que existen 2 constantes positivas [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] de modo que
[matemática] a * log (n) \ leq \ sum 1 / n \ leq b * log (n) [/ math].

La prueba está usando este teorema:
f (n) tiene que ser monótono decreciente
f (n) = [matemática] \ frac {1} {n} [/ matemática] llena los criterios

Resolver esta integral simple limitará la sumatoria, demostrando así su equivalente asintótico a log (n)

Answer 2

La identidad real es [matemática] \ sum \ limits_ {k = 1} ^ x \ frac {1} {k} \ approx \ log x [/ math]. (También hay un pequeño término constante, que generalmente se ignora).