¿Cuál es el número de raíces de la ecuación: [matemáticas] \ sin ^ {4} x + \ cos ^ {4} x = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ text {in} [0, 2 \ pi] [/ matemáticas]?

Answer 1

La reducción de la 4ta potencia a través de la fórmula de doble ángulo debería aumentar el ángulo en 4 veces más.

[matemáticas] 0 \ le x \ le 2 \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 0 \ le 4x \ le 8 \ pi [/ matemáticas]

Tendremos [math] 8 [/ math] soluciones en total.

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[matemáticas] \ sin ^ 4 x + \ cos ^ 4 x = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1–2 \ sin ^ 2 x \ cos ^ 2 x = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1- \ dfrac {1} {2} \ sin ^ 2 2x = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2– \ sin ^ 2 2x = \ sqrt {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ sin ^ 2 2x = 2- \ sqrt {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {2} (1- \ cos 4x) = 2- \ sqrt {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1- \ cos 4x = 4–2 \ sqrt {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ cos 4x = 2 \ sqrt {3} -3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 4x = 2n \ pi \ pm \ arccos (2 \ sqrt {3} -3) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 4x = 62.35,297.65,422.35,657.65,782.35,1017.65,1142.35,1377.65 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = 15.5875,74.4125,105.5875,164.4125,195.5875,254.4125,285.5875,344.3375 [/ matemáticas]

Answer 2

Dos raices.

(sin x) ^ 4 + (cos x) ^ 4 = ((sin x) ^ 2 + (cos x) ^ 2) ^ 2 – 2 * (sin x) ^ 2 * (cos x) ^ 2
= 1 – (1/2) (sin (2x)) ^ 2

Por lo tanto, la ecuación dada se convierte en
1 – (1/2) (sin (2x)) ^ 2 = sqrt (3) / 2
=> sin (2x) = (+/-) sqrt (2-sqrt (3)),

=> x = (+/-) (1/2) (asin (sqrt (2-sqrt (3)))), asin = función seno inversa

¡Por lo tanto, la ecuación tiene dos raíces!

Answer 3

(sin²x + cos²x) ²≡1² = s ^ 4 + c ^ 4 + ½ (2sc) ²

s ^ 4 + c ^ 4 = 1-½sin²2x

ecuación dada →

1-½sin²2x = √3 / 2

2-sen²2x = √3

sin²2x = 2 – √3≈0.268

sen2x = ± √0.268 = arcosin (31.17 °)

2x = nπ ± 31.17 ° (-1) ^ n

x = ½πn ± (-1) ^ n (15,6 °) →

8 SOLUTINAS SOLAMENTE:

① n = 0 → x = ± 15.6 ° ↙ → tomar x = 15.6 ° solamente

② n = 1 → x = 90 ° ± 15.6 ° = 74.4 °, 105.6 °

③ n = 2 → x = 180 ° ± 15.6 ° = 195.6 °, 164.4 °

.④ n = 3 → x = 270 ° ± 15.6 ° = 285.6 °, 254.4 °

⑤ n = 4 → x = 360 ° ± 15.6 ° = 344.4 ° ……

Answer 4

Si la ecuación es sqrt (3) / 2 = (sinx) ^ 4 + (cosx) ^ 4, entonces no hay soluciones en absoluto.
porque | sinx | ​​<= 1, implica (sinx) ^ 4 <= (sinx) ^ 2,
Entonces, sqrt (3) / 2 = (sinx) ^ 4 + (cosx) ^ 4 <= (sinx) ^ 2 + (cosx) ^ 2 = 1. Lo cual es absurdo.
Por lo tanto, no hay soluciones
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