La desigualdad debería ser [math] \ geq [/ math] en lugar de [math]> [/ math], o debería mencionarse explícitamente que [math] x \ neq y [/ math]. Asumiré lo primero.
TPT: [matemáticas] \ sqrt {x} \ left (1+ \ frac {1} {y} \ right) + \ sqrt {y} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) \ geq 4 [/ matemáticas]
Prueba: WLOG, suponga [matemáticas] x \ leq y [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] 1 + \ frac {1} {y} \ leq 1 + \ frac {1} {x} [/ math]. Por lo tanto, por la desigualdad de reordenamiento,
[matemáticas] \ sqrt {x} \ izquierda (1+ \ frac {1} {y} \ derecha) [/ matemáticas] [matemáticas] + \ sqrt {y} \ izquierda (1+ \ frac {1} {x} \ right) \ geq [/ math] [math] \ sqrt {y} \ left (1+ \ frac {1} {y} \ right) [/ math] [math] + \ sqrt {x} \ left (1 + \ frac {1} {x} \ right) [/ math]
[matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {y} + \ frac {1} {\ sqrt {y}} [/ matemáticas] [matemáticas] + \ sqrt {x} + \ frac {1} {\ sqrt {x}} [/ math]
Ahora, es fácil mostrar que, [matemáticas] \ sqrt {x} + \ frac {1} {\ sqrt {x}} \ geq 2 [/ matemáticas]. Conectar esto arriba prueba el resultado.
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