¿Qué función generalizada [matemática] f (x) [/ matemática] para [matemática] \ alpha> 0 [/ matemática] satisface [matemática] \ int ^ \ infty_0 f (x) \ sin (\ alpha x) ~ \ mathrm { d} x = 1 – \ alpha [/ math] para [math] \ alpha \ in (0,1] [/ math] y = 0 para [math] \ alpha> 1 [/ math]?

Es fácil invertir esta integral si utilizamos las propiedades de la Transformada Senoidal de Fourier. Para este problema, tenemos que usar una definición ligeramente inconveniente (y poco común) de la transformación dada a continuación. Para cualquier función [matemática] f (x) [/ matemática], defina
[matemáticas] F (\ alpha) = \ int ^ \ infty_0 f (x) \ sin (\ alpha x) ~ \ mathrm {d} x [/ math]
La transformación inversa está dada por
[matemáticas] f (x) = \ frac {2} {\ pi} \ int ^ \ infty_0 F (\ alpha) \ sin (\ alpha x) ~ \ mathrm {d} \ alpha [/ math]
Dejar [math] F (\ alpha) = (1 – \ alpha) H (1- \ alpha) [/ math], donde [math] H (\ alpha) [/ math] es la función de paso Heaviside; en la segunda ecuación, obtenemos
[matemáticas] f (x) = \ frac {2} {\ pi} \ int ^ \ infty_0 \ left (1 – \ alpha \ right) H (1- \ alpha) \ sin (\ alpha x) ~ \ mathrm { d} \ alpha [/ math]

[matemáticas] = \ frac {2} {\ pi} \ int ^ 1_0 (1 – \ alpha) \ sin (\ alpha x) ~ \ mathrm {d} \ alpha [/ math]

[matemáticas] = \ frac {2} {\ pi} \ left (\ frac {x- \ sin (x)} {x ^ 2} \ right) [/ math].

Ahora, sustituyendo [math] f (x) [/ math] en la primera ecuación, obtenemos [math] F (\ alpha) [/ math] usando la integral

[matemáticas] \ int ^ \ infty_0 \ frac {x- \ sin (x)} {x ^ 2} \ sin (\ alpha x) ~ \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] = \ frac {\ pi} {4} (| \ alpha-1 | – | \ alpha + 1 | +2 \ mathrm {sgn} (\ alpha)) [/ math]

Salud !