Es fácil invertir esta integral si utilizamos las propiedades de la Transformada Senoidal de Fourier. Para este problema, tenemos que usar una definición ligeramente inconveniente (y poco común) de la transformación dada a continuación. Para cualquier función [matemática] f (x) [/ matemática], defina
[matemáticas] F (\ alpha) = \ int ^ \ infty_0 f (x) \ sin (\ alpha x) ~ \ mathrm {d} x [/ math]
La transformación inversa está dada por
[matemáticas] f (x) = \ frac {2} {\ pi} \ int ^ \ infty_0 F (\ alpha) \ sin (\ alpha x) ~ \ mathrm {d} \ alpha [/ math]
Dejar [math] F (\ alpha) = (1 – \ alpha) H (1- \ alpha) [/ math], donde [math] H (\ alpha) [/ math] es la función de paso Heaviside; en la segunda ecuación, obtenemos
[matemáticas] f (x) = \ frac {2} {\ pi} \ int ^ \ infty_0 \ left (1 – \ alpha \ right) H (1- \ alpha) \ sin (\ alpha x) ~ \ mathrm { d} \ alpha [/ math]
[matemáticas] = \ frac {2} {\ pi} \ int ^ 1_0 (1 – \ alpha) \ sin (\ alpha x) ~ \ mathrm {d} \ alpha [/ math]
[matemáticas] = \ frac {2} {\ pi} \ left (\ frac {x- \ sin (x)} {x ^ 2} \ right) [/ math].
Ahora, sustituyendo [math] f (x) [/ math] en la primera ecuación, obtenemos [math] F (\ alpha) [/ math] usando la integral
- ¿Cuál es el valor de d / dx de mod x, d / dx del mayor entero de x y d / dx de x factorial?
- ¿Cómo evaluaría la integral [matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- a} ^ {La} \ frac {{\ lambda} b} {4 {\ pi} {\ varepsilon} (x ^ 2 + b ^ 2) ^ {3/2}} \, dx [/ math]?
- Deje que [math] f: X \ rightarrow Y [/ math] sea un mapa. Sea [math] p [/ math] la relación de equivalencia con el dominio [math] X [/ math] definido por [math] x_1 p x_2 [/ math] iff [math] f (x_1) = f (x_2) [/ matemáticas]. Sea [math] j: X \ rightarrow X / p [/ math] con [math] j (x) = [x] [/ math], y sea [math] g: X / p \ rightarrow f [X] [ / math] con [math] g ([x]) = f (x) [/ math]. [matemáticas] i: f [X] \ rightarrow Y [/ matemáticas] con [matemáticas] i (y) = y [/ matemáticas]. ¿Cómo mostrarías que [math] g [/ math] es uno a uno y sobre y que [math] f = i \ circ g \ circ j [/ math]?
- ¿Por qué soy bueno aprendiendo matemáticas, pre-álgebra y álgebra, pero no soy bueno usándolo?
- ¿Hay una manera fácil de entender que no existe una fórmula para calcular las raíces de un polinomio de quinto grado, aunque existen para polinomios cuadráticos, cúbicos y cuárticos?
[matemáticas] \ int ^ \ infty_0 \ frac {x- \ sin (x)} {x ^ 2} \ sin (\ alpha x) ~ \ mathrm {d} x [/ math]
[matemáticas] = \ frac {\ pi} {4} (| \ alpha-1 | – | \ alpha + 1 | +2 \ mathrm {sgn} (\ alpha)) [/ math]
Salud !