Deje que [math] f: X \ rightarrow Y [/ math] sea un mapa. Sea [math] p [/ math] la relación de equivalencia con el dominio [math] X [/ math] definido por [math] x_1 p x_2 [/ math] iff [math] f (x_1) = f (x_2) [/ matemáticas]. Sea [math] j: X \ rightarrow X / p [/ math] con [math] j (x) = [x] [/ math], y sea [math] g: X / p \ rightarrow f [X] [ / math] con [math] g ([x]) = f (x) [/ math]. [matemáticas] i: f [X] \ rightarrow Y [/ matemáticas] con [matemáticas] i (y) = y [/ matemáticas]. ¿Cómo mostrarías que [math] g [/ math] es uno a uno y sobre y que [math] f = i \ circ g \ circ j [/ math]?

Answer 1

Supongamos que [math] f [/ math] está bien definido, entonces es trivial que [math] g [/ math] también esté bien definido

1. [matemática] g [/ matemática] es uno a uno: suponga [matemática] g ([x]) = g ([y]) [/ matemática] para [[matemática] x], [y] \ en X / p [/ matemáticas]. Entonces tenemos que [matemática] f (x) = f (y) [/ matemática], que luego, por definición de la relación de equivalencia [matemática] p [/ matemática] implica que [matemática] x = y [/ matemática]. A su vez, esto implica que [matemáticas] [x] = [y]. [/ Matemáticas] Esto demuestra que [matemáticas] g [/ matemáticas] es uno a uno.
2. [math] g [/ math] está en: tomar una arbitraria [math] y \ in f (Y) [/ math]. Entonces existe una [matemática] x \ en X [/ matemática] tal que [matemática] y = f (x) [/ matemática]. Tenemos que [matemáticas] x \ en [x] [/ matemáticas] porque [matemáticas] f (x) = f (x) [/ matemáticas]. Esto significa que debido a que [math] X / p [/ math] es el conjunto de todas las clases de equivalencia, tenemos que [math] g ([x]) = y [/ math]. Esto prueba que [math] g [/ math] está en.
3. [matemáticas] f = i \ circ g \ circ j [/ matemáticas]. Es trivial que [math] i [/ math] sea uno a uno porque tenemos que [math] Id_Y \ mid_ {f (X)} [/ math]. También tenemos que [math] j [/ math] está activado debido al hecho anteriormente mencionado de que [math] \ forall x \ in X: x \ in [x] [/ math]. Si combinamos esta información con el hecho comprobado anterior de que [matemática] g [/ matemática] es una biyección, podemos ver fácilmente que [matemática] f = i \ circ g \ circ j [/ matemática]. Intuitivamente mapeas [math] x [/ math] a su clase de equivalencia, luego lo mapeas de forma biyectiva a [math] f (x) [/ math], esto esencialmente significa que [math] g \ circ j = f ^ * [/ matemática], con [matemática] f ^ * [/ matemática] [matemática]: X \ rightarrow f (X) [/ matemática] y [matemática] f (x) = f ^ * (x) [/ matemática]. [matemática] i [/ matemática] simplemente asigna [matemática] f (x) [/ matemática] en [matemática] Y [/ matemática] que es solo un conjunto potencialmente mayor que [matemática] f (X) [/ matemática]. Esto significa que [math] i [/ math] solo se asegura de que el codominio de [math] g \ circ j [/ math] sea [math] Y [/ math] y no [math] f (X) [/ math ] Podría probar esto rigurosamente con dos inclusiones que no es un trabajo difícil de hacer.

Answer 2

Bien, ahora que hemos editado la pregunta para que no tenga términos indefinidos, asegurémonos de que entendemos lo que debemos mostrar.

Objetivo 1: [matemática] g [/ matemática] es uno a uno.
Indique lo que esto significa. Demuéstralo, si puedes.

Objetivo 2: [matemáticas] g [/ matemáticas] está en.
Indique lo que esto significa. Demuéstralo, si puedes.

Objetivo 3: [matemáticas] f = i \ circ g \ circ j [/ matemáticas].
Indique lo que esto significa. Demuéstralo, si puedes.

Recomiendo que el OP cree su propia respuesta a la pregunta, y completaremos estas definiciones y pasos a medida que avanzamos. Sin embargo, si lo prefiere, podemos actualizar mi respuesta con los pasos.