Existe un teorema de Abel-Ruffini, que demuestra que es imposible resolver una ecuación quíntica general mediante radicales. El teorema fundamental de la teoría de Galois explica cuándo una ecuación polinómica dada de grado [matemática] n [/ matemática] puede resolverse mediante radicales, y lo más importante es por qué . Sin embargo, las técnicas utilizadas son bastante complicadas y no se explican fácilmente de manera concisa.
Lagrange fue el primer matemático en tratar de generalizar el enfoque de resolver la ecuación cuadrática, cúbica y cuártica al proponer el uso de DFT de las raíces de la ecuación. En otras palabras, si [matemática] X = [x_1, x_2, x_3, \ cdots] ^ T [/ matemática], es el vector raíz del polinomio, propuso investigar, el vector [matemático] Y = [y_1, y_2 , y_3, \ cdots] ^ T [/ math], de modo que
[matemática] X = VY [/ matemática], donde [matemática] V [/ matemática] es la matriz de Vandermonde.
Su ingenio fue crear una función no simétrica de las raíces, por ejemplo, para la ecuación cúbica:
[matemáticas] f (x_1, x_2, x_3) = (x_1 + w.x_2 + w ^ 2.x_3) ^ 3 [/ matemáticas] donde [matemáticas] w, w ^ 2 [/ matemáticas], son las raíces cúbicas de unidad.
Ahora considere, permutando las variables (raíces) en [matemáticas] f (x_1, x_2, x_3) [/ matemáticas]. Este fue el momento decisivo en la historia matemática, que condujo al desarrollo de la moderna y elegante teoría de Galois, con un amplio impacto en el conjunto de las matemáticas. Bajo la permutación de [math] (x_1, x_2, x_3) [/ math], y hay 6 (3!) Tales posibilidades, solo tenemos 2 valores únicos. Lagrange concluyó que siempre que tengamos una función no simétrica de las raíces, que asume no más de [matemáticas] (n-1) [/ matemáticas] valores únicos bajo permutación de las raíces, la ecuación polinomial dada de grado [matemáticas] n [/ math] se puede resolver mediante radicales.
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- ¿Cuál es el número de raíces de la ecuación: [matemáticas] \ sin ^ {4} x + \ cos ^ {4} x = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ text {in} [0, 2 \ pi] [/ matemáticas]?
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Por ejemplo, consideró la siguiente función no simétrica de las raíces para el cuarto,
[matemáticas] h (x_1, x_2, x_3, x_4) = (x_1.x_2 + x_3.x_4) [/ matemáticas]
Con menos de 24 (4) permutación posible, solo se recuperan 3 valores únicos, por lo tanto, Lagrange puede reducir el cuarto a una ecuación de orden inferior y resolverlo en radicales. Por definición, cualquier función simétrica tiene solo 1 valor bajo toda su permutación, por ejemplo, [math] (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) [/ math]. Para hacer las cosas emocionantes, Lagrange había demostrado un teorema de que cualquier función simétrica se puede expresar en términos de funciones simétricas elementales. Las funciones elementales son solo el coeficiente de las ecuaciones polinómicas. Lagrange fue súper genial. ¡Vincula la permutación a los radicales y a la función de las raíces! Lo que esto significa es que una raíz se puede expresar en radicales, tiene que ser una función simétrica en todas las demás raíces, incluida ella misma. Aquí se hace una pregunta más profunda: ¿podemos extraer una variable usando la función simétrica de las variables? Por ejemplo, considere la ecuación cuadrática:
[matemáticas] x = – 0.5 (b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4c}) [/ matemáticas], suponiendo que [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas]
cual es
[matemáticas] x_1 = S_1 (x_1, x_2) = 0.5 ((x_1 + x_2) + \ sqrt {(x_1 + x_2) ^ 2 – 4. (x_1.x_2)}) [/ matemáticas] y
[matemáticas] x_2 = S_2 (x_1, x_2) = 0.5 ((x_1 + x_2) – \ sqrt {(x_1 + x_2) ^ 2 – 4. (x_1.x_2)}) [/ matemáticas]
Entonces, Lagrange reduce la cuestión de la solubilidad de la ecuación polinómica en radicales a preguntas sobre funciones simétricas y permutaciones.
Cuando hizo lo mismo para la ecuación quíntica, no pudo encontrar ninguna función no simétrica [matemática] g (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) [/ matemática], que por debajo de 120 (5!) La permutación se redujo a solo 4 únicos valores. Entonces concluyó que sus métodos no pueden usarse para obtener una solución de quintic en radicales. Sin embargo, pensó que otros métodos posiblemente podrían encontrar una solución en los radicales para la quíntica.
Considero que la exposición a la transformación de Tschirnhausen, que es una transformación polinómica, también proporciona una buena intuición de por qué no podemos tener una solución en radicales para quintic, y por qué podríamos para cuártica, cúbica, cuadrática y lineal. Muy brevemente, una ecuación quíntica en la forma general:
[matemáticas] x ^ 5 + hacha ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 [/ matemáticas]
puede reducirse a
[matemáticas] y ^ 5 + y + p = 0 [/ matemáticas]
a través de una serie de transformaciones algebriac (Tschirnhausen) resolviendo la ecuación cuártica. Sin embargo, no podemos reducirlo a
[matemática] y ^ 5 + q = 0 [/ matemática] con otra transformación algebríaca, sin resolver otra quintica !!! Sin embargo, si se redujera a la forma anterior, tendríamos la solución en radicales.
Examinemos el caso de los polinomios solubles:
Cuadrático:
[matemáticas] x ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas], puede reducirse mediante Tschirnhausen lineal a:
[matemáticas] y ^ 2 + d = 0 [/ matemáticas]
Cúbico:
[matemática] x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática], puede reducirse mediante Tschirnhausen cuadrático a:
[matemáticas] y ^ 3 + e = 0 [/ matemáticas]
y así sucesivamente para el cuarto por el uso de la transformación cúbica de Tschirnhausen.
Pero para la quintic general, no existe una transformación de Tschirnhausen algebraica finita que requiera un grado inferior a 5, lo que lo reducirá a la forma:
[matemáticas] y ^ 5 + q = 0 [/ matemáticas]