¿Cómo podemos averiguar algebraicamente si una función es de muchas a una o de una a una?

Answer 1

Para mostrar que una función [math] f: X \ to Y [/ math] es uno a uno, desea dejar que [math] f (x_0) = f (x_1) [/ math] para algunos [math] x_0, x_1 [/ math] en [math] X [/ math]. Entonces necesita usar algún tipo de técnica para mostrar que [math] x_0 = x_1 [/ math].

Si desea mostrar que una función es muchos a uno, necesita encontrar [matemática] x_0, x_1 [/ matemática] en [matemática] X [/ matemática] con [matemática] x_0 \ neq x_1 [/ matemática] tal que [matemáticas] f (x_0) = f (x_1) [/ matemáticas].

Cuidado con la prueba de línea horizontal. Si grafica una función y pasa la prueba de la línea horizontal, eso no significa necesariamente que la función sea uno a uno. (Esto se debe principalmente a que no es humanamente posible representar gráficamente una función hasta el infinito).

Para esto puede usar la prueba de línea horizontal:

Si grafica una función y FALLA la prueba de la línea horizontal, entonces es muchos a uno.

Answer 2

No creo que sea posible saberlo con certeza en general. Sin embargo, si puede reducir la función a una secuencia de verdades matemáticas y descubrir que las verdades son uno a uno, debería funcionar. Por ejemplo, si la función es solo una secuencia de adiciones con constantes o una secuencia de multiplicaciones donde hay una restricción de> 0, debería ser razonable suponer uno a uno. Por supuesto, todavía hay problemas con este enfoque, como [if] o la no vinculación de sus variables de entrada, etc. Por cierto, esta es solo mi opinión intuitiva.

Answer 3

Si tenemos y = f (x), entonces podemos invertir la función (si es posible) y ver si x = f (y) da dos o más valores de x. Luego, muchos a uno, más uno a uno … Sin embargo, esto puede ser poco confiable, supongo. (Especialmente porque muchas funciones no son invertibles: p). ¿Por qué no usas gráficos?