¿Cuál es el valor de la serie convergente [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {(6n-1) ^ 2} [/ matemáticas]?

Responder

[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {(6k-1) ^ 2} = \ frac {\ psi ‘\ left (\ frac {5} {6} \ right)} { 36} [/ matemáticas]

Explicación

Para esto podemos introducir la función Digamma

[matemáticas] \ psi (x) = \ frac {\ Gamma ‘(x)} {\ Gamma (x)} [/ matemáticas]

donde [math] \ Gamma (x) [/ math] es la función Gamma, una extensión del factorial, por ejemplo, [math] \ Gamma (n) = (n-1)! [/ math]. La función digamma es importante en la teoría de números, especialmente para comprender la hipótesis de Riemann, y resulta que uno puede escribir una expansión en serie

[matemáticas] \ psi (x + 1) = – \ gamma + \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ left (\ frac {1} {k} – \ frac {1} {x + k} \ right) [/matemáticas]

donde [math] \ gamma [/ math] es la constante de Euler-Mascheroni (aunque, como veremos, este número no aparece en nuestra respuesta). Tomando un derivado obtenemos

[matemáticas] \ psi ‘(x + 1) = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {(x + k) ^ 2} [/ matemáticas]

sustituyendo [matemáticas] x = – \ frac {1} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ psi ‘\ left (\ frac {5} {6} \ right) = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {\ left (k- \ frac {1} {6} \ right) ^ 2} = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {36} {(6k-1) ^ 2} [/ math]

conduciendo al resultado anterior