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[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {(6k-1) ^ 2} = \ frac {\ psi ‘\ left (\ frac {5} {6} \ right)} { 36} [/ matemáticas]
Explicación
Para esto podemos introducir la función Digamma
- Dado que x, y son números reales positivos, ¿cómo puedo mostrar que [matemáticas] \ sqrt {x} (1+ \ frac {1} {y}) + \ sqrt {y} (1+ \ frac {1} { x}) \ geq4 [/ math]?
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- ¿Qué función generalizada [matemática] f (x) [/ matemática] para [matemática] \ alpha> 0 [/ matemática] satisface [matemática] \ int ^ \ infty_0 f (x) \ sin (\ alpha x) ~ \ mathrm { d} x = 1 – \ alpha [/ math] para [math] \ alpha \ in (0,1] [/ math] y = 0 para [math] \ alpha> 1 [/ math]?
- ¿Cuál es el valor de d / dx de mod x, d / dx del mayor entero de x y d / dx de x factorial?
[matemáticas] \ psi (x) = \ frac {\ Gamma ‘(x)} {\ Gamma (x)} [/ matemáticas]
donde [math] \ Gamma (x) [/ math] es la función Gamma, una extensión del factorial, por ejemplo, [math] \ Gamma (n) = (n-1)! [/ math]. La función digamma es importante en la teoría de números, especialmente para comprender la hipótesis de Riemann, y resulta que uno puede escribir una expansión en serie
[matemáticas] \ psi (x + 1) = – \ gamma + \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ left (\ frac {1} {k} – \ frac {1} {x + k} \ right) [/matemáticas]
donde [math] \ gamma [/ math] es la constante de Euler-Mascheroni (aunque, como veremos, este número no aparece en nuestra respuesta). Tomando un derivado obtenemos
[matemáticas] \ psi ‘(x + 1) = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {(x + k) ^ 2} [/ matemáticas]
sustituyendo [matemáticas] x = – \ frac {1} {6} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ psi ‘\ left (\ frac {5} {6} \ right) = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {\ left (k- \ frac {1} {6} \ right) ^ 2} = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {36} {(6k-1) ^ 2} [/ math]
conduciendo al resultado anterior