Cómo usar la tecla de raíz cuadrada en una calculadora ordinaria para encontrar la raíz cúbica de un número con cualquier grado de precisión

Answer 1

Puede aproximar la raíz cúbica de cualquier número usando solo raíces cuadradas y multiplicación usando un método de plantación de semillas.

Primero, veamos la expansión binaria de [math] \ frac {1} {3} [/ math]:
[matemáticas] \ frac {1} {3} = 0.0101010101… _2 [/ matemáticas]

Ahora, podemos usar la expansión binaria para aproximar [math] x ^ \ frac {1} {3} [/ math]. La forma en que hacemos esto es que truncamos la fracción de repetición para [math] \ frac {1} {3} [/ math] con la precisión deseada. Por ejemplo, podríamos parar después de ocho dígitos:

[matemática] \ frac {1} {3} \ aprox 0.01010101_2 = \ frac {85} {256} \ aprox 0.332 [/ matemática]

Ahora lo que hacemos es comenzar en el extremo derecho de la fracción (valor más pequeño) y usar el siguiente algoritmo para aproximar la raíz cúbica de x:

• Si el número es un 1, multiplique el resultado anterior por x y luego tome la raíz cuadrada de ese producto
• Si el número es un 0, saca la raíz cuadrada del número anterior
• Comience en el primer 1 con el número x

Si hacemos esto hasta llegar al final de nuestro decimal binario truncado (incluido el 0 inicial), habremos calculado x a la potencia de nuestro decimal binario truncado, que está cerca de [matemáticas] \ frac {1} {3} [/matemáticas].

Probemos esto en 10. El número en negrita es donde estamos actualmente en el decimal binario:

0.0101010 1 – [matemáticas] 10 [/ matemáticas]
0.010101 0 1 – [matemática] \ sqrt {10} \ aprox 3.1623 [/ matemática]
0.01010 1 01 – [matemáticas] 10 * \ sqrt {3.1623} \ aprox 17.7828 [/ matemáticas]
0.0101 0 101 – [matemática] \ sqrt {17.7828} \ aprox 4.2169 [/ matemática]
0.010 1 0101 – [matemáticas] 10 * \ sqrt {4.2169} \ aprox 20.5353 [/ matemáticas]
0.01 0 10101 – [matemáticas] \ sqrt {20.5353} \ aproximadamente 4.5316 [/ matemáticas]
0.0 1 010101 – [matemática] 10 * \ sqrt {4.5316} \ aprox 21.2875 [/ matemática]
0. 0 1010101 – [matemáticas] \ sqrt {21.2875} \ aproximadamente 4.6138 [/ matemáticas]
0 .01010101 – [matemática] \ sqrt {4.6138} \ aprox 2.1480 [/ matemática]

Tenga en cuenta que este método no converge especialmente rápido, nuestra respuesta final al cubo es: [matemáticas] 2.1480 ^ 3 \ aprox 9.9105 [/ matemáticas]. La raíz cúbica de diez es: [matemáticas] \ sqrt [3] {10} \ aprox 2.1544 [/ matemáticas].

Este método funciona plantando una “semilla” de x cada vez que hay una en la expansión binaria. El de la expansión binaria corresponde a un factor de [matemática] \ frac {1} {2 ^ n} [/ matemática], donde n es el número de dígitos lejos del punto decimal. A medida que ejecutamos el algoritmo, la “semilla” que plantamos se enraíza en n veces y termina contribuyendo con un factor de [matemática] x ^ \ frac {1} {2 ^ n} [/ matemática]. Observe cómo el exponente se alinea con el número representado por ese dígito binario. El resultado de multiplicar todas las semillas plantadas es agregar los exponentes con los que terminamos de cada semilla. Pero, ¡esto es exactamente lo que significa el decimal binario! Si agrega todos los números representados por unos en la expansión binaria, ¡obtendrá el número representado por la fracción completa! Entonces, para nuestro ejemplo, hemos calculado exactamente [matemáticas] 10 ^ \ frac {85} {256} [/ matemáticas].

Este método puede usarse para encontrar números a potencias arbitrarias (menos de uno) expresando el número como un decimal binario. También es posible usar un método muy similar para encontrar un número x a cualquier potencia entera rápidamente al cuadrar y multiplicar por x.

Espero que esto haya ayudado!

Answer 2

La increíble belleza de las raíces sumarias hace el truco. La suma infinita de
1/4 de potencia es 1/3, por lo tanto, toma raíces cuadradas sucesivas, de dos en dos, almacenándolas en la memoria, multiplicando los resultados, etc. ¡Da una aproximación cada vez mejor!

Answer 3

Considere series geométricas infinitas [matemáticas] \ frac {1} {3} = \ frac {1} {2} – \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} – \ frac {1} {16 } + \ cdots [/ math]. Para cualquier número [matemática] n [/ matemática] use la ley de exponentes y escriba,
[matemáticas] n ^ \ frac {1} {3} = n ^ (\ frac {1} {2} – \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} – \ frac {1} { 16} + \ cdots) [/ math]. Es decir,
[matemáticas] n ^ \ frac {1} {3} = \ frac {n ^ \ frac {1} {2} n ^ \ frac {1} {8} n ^ \ frac {1} {32}} {n ^ \ frac {1} {4} n ^ \ frac {1} {16} n ^ \ frac {1} {64}} \ cdots [/ math].
Al usar la suma finita de la serie, podemos encontrar el error absoluto después de tomar los términos [matemática] k [/ matemática] en el lado derecho,
[matemáticas] E (k) = n ^ \ frac {1} {3} | 1- n ^ \ frac {1} {3 (-2 ^ {k})} | [/ matemáticas].
Las respuestas mencionadas anteriormente siguen los mismos métodos y usan la serie [matemáticas] \ frac {1} {3} = \ frac {1} {4} + \ frac {1} {16} + \ frac {1} {64} \ cdots [/ math] y la ventaja aquí en comparación con la serie anterior no requiere división. Y el error absoluto es [matemática] E (k) = n ^ \ frac {1} {3} | 1- n ^ \ frac {1} {3 (4 ^ {k})} | [/ matemática].