Cómo demostrar que [matemática] (A \ copa B) – (A \ cap B) = (AB) \ copa (BA) [/ matemática] tiene

Answer 1

Para una respuesta más simple, la forma habitual de mostrar una igualdad de conjuntos es mostrar que cada conjunto es un subconjunto del otro. Dejar

[matemáticas] S = (A \ copa B) – (A \ cap B) [/ matemáticas]
[matemáticas] T = (AB) \ copa (BA) [/ matemáticas],

y debemos mostrar que [math] S \ subset T [/ math] y [math] T \ subset S [/ math].

Para este fin, suponga que [math] x \ en S [/ math]. Entonces [math] x \ en A \ cup B [/ math], pero [math] x \ notin A \ cap B [/ math] –esto es, [math] x [/ math] no está en ambos [math] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas]. Como [math] x \ en A \ cup B [/ math], [math] x \ en A [/ math] o [math] x \ en B [/ math].

Si [math] x \ en A [/ math], entonces dado que [math] x [/ math] no puede estar en [math] A [/ math] y [math] B [/ math] concluimos que [ matemáticas] x \ en A -B [/ matemáticas], y por lo tanto también [matemáticas] x \ en (AB) \ cup (BA) = T [/ matemáticas].

De manera similar, si en cambio [matemática] x \ en B [/ matemática] entonces [matemática] x \ notin A [/ matemática] entonces [matemática] x \ en BA [/ matemática] y por lo tanto [matemática] x \ in (AB) \ cup (BA) = T [/ matemáticas]. En cualquier caso, hemos concluido [math] x \ en T [/ math] y, por lo tanto, [math] S \ subset T [/ math].

En este punto, le animo a que presente un argumento similar para mostrar que [math] T \ subset S [/ math] y, por lo tanto, concluya que [math] S = T [/ math].

Answer 2

Tomando prestado de la lógica simbólica booleana, denotemos + como la unión y. como la intersección
Ahora, LHS: (A + B) – (AB) = (A + B). (~ (AB)) .. Usando la definición dada de XY
= (A + B). (~ A + (~ B))… Ley de De Morgan
= (A. (~ A) + A. (~ B) + B. (~ A) + B. (~ B)) .. Ley Distributiva
= 0 + A (~ B) + B (~ A) + 0 … 0 es el conjunto nulo
= A (~ B) + B (~ A) … Ley de identidad
= (AB) + (BA) .. Usando la definición dada de XY
= RHS
que debía ser probado

Answer 3

Propiedad conocida:

[matemáticas] AB = A \ cap \ overline {B} [/ matemáticas]

Y la ley de De Morgan:

[matemáticas] \ overline {A \ cap B} = \ overline {A} \ cup \ overline {B} [/ math]

Y propiedad distributiva:

[matemáticas] A \ stackrel {\ cap} \ cup (B \ stackrel {\ cup} \ cap C) = (A \ stackrel {\ cap} \ cup B) \ stackrel {\ cup} \ cap (A \ stackrel { \ cap} \ cup C) [/ math]

Así:

[matemáticas] (A \ copa B) – (A \ cap B) = (A \ copa B) \ cap \ overline {A \ cap B} = [/ matemática]

[math] = (A \ cup B) \ cap (\ overline {A} \ cup \ overline {B}) = [/ math]

[math] = ((A \ cup B) \ cap \ overline {A}) \ cup ((A \ cup B) \ cap \ overline {B}) = [/ math]

[matemática] = ((A \ cap \ overline {A}) \ cup (B \ cap \ overline {A})) [/ math] [math] \ cup ((A \ cap \ overline {B}) \ cup (B \ cap \ overline {B})) = [/ math]

[matemáticas] = (\ varnothing \ cup (B \ cap \ overline {A})) \ cup ((A \ cap \ overline {B}) \ cup \ varnothing) = [/ math]

[matemáticas] = (B \ cap \ overline {A}) \ cup (A \ cap \ overline {B}) = [/ math]

[matemáticas] = (BA) \ copa (AB). \ \ \ \ cuadrado [/ matemáticas]