[matemáticas] -1 <\ rho \ le 1 [/ matemáticas].
Prueba:
Sabemos que [matemáticas] -1 \ le \ rho \ le 1 [/ matemáticas].
Primero, demostramos que [math] \ rho \ ne -1 [/ math].
- Dado que [matemáticas] 1 \ leq a \ leq 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 \ leq b \ leq 2 [/ matemáticas] ¿cómo puedo encontrar [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemática] [matemática] x \ lt \ frac {a + b} {2a + b} \ lt y [/ matemática] tal que [matemática] yx = 0.15 [/ matemática]?
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Para cualquiera de las dos variables aleatorias [matemáticas] X [/ matemáticas] y [matemáticas] Y [/ matemáticas], [matemáticas] \ rho_ {XY} = -1 [/ matemáticas] si y solo si [matemáticas] Y = a – bX [/ matemática] ([matemática] b> 0 [/ matemática]).
Ahora, si [math] \ rho_ {XY} = \ rho_ {YZ} [/ math], entonces
[matemáticas] Y = a_1 – b_1X, Z = a_2 – b_2Y \ Rightarrow [/ matemáticas]
[matemáticas] Z = a_2 – b_2 (a_1 – b_1) X = a_2 – a_1b_2 + b_1b_2X [/ matemáticas]
donde [math] b_1 <0, b_2 0 [/ math].
Por lo tanto, [math] \ rho_ {XZ} \ ne 1 [/ math] (de hecho, es [math] +1 [/ math]).
Ahora, el siguiente ejemplo muestra que [math] \ rho [/ math] puede asumir cualquier otro valor (válido).
Sea [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática] dos variables aleatorias, cada una con una unidad de varianza ([matemática] V [X] = V [Y] = 1 [/ matemática]), y algunas correlación [matemáticas] \ rho \ ne -1 [/ matemáticas].
(Hm … ¿Hay algo que evite que [math] \ rho [/ math] tome algún valor si ambas variables aleatorias tienen varianza unitaria? No lo creo, pero es necesario analizarlo).
Entonces [math] Cov [X, Y] = \ rho [/ math].
Sea [matemática] Z = a (X + Y) = aX + aY [/ matemática].
[matemática] Cov [X, Z] = E [XZ] – E [X] E [Z] [/ matemática]
[matemáticas] = E [X (aX + aY)] – E [X] E [aX + aY] [/ matemáticas]
[matemáticas] = E [aX ^ 2 + aXY] – E [X] (aE [X] + aE [Y]) [/ matemáticas]
[matemáticas] = aE [X ^ 2] + aE [XY] – aE [X] ^ 2 + aE [X] E [Y] [/ matemáticas]
[matemáticas] = aV [X] + a \, Cov [X, Y] [/ matemáticas]
[matemáticas] = a (1 + \ rho) [/ matemáticas]
[matemáticas] V [Z] = V [a (X + Y)] [/ matemáticas]
[matemáticas] = a ^ 2 (V [X] + V [Y] + 2Cov [X, Y]) [/ matemáticas]
[matemáticas] = a ^ 2 (2 + 2 \ rho) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2a ^ 2 (1 + \ rho) [/ matemáticas]
Por lo tanto (recordando que [math] \ rho \ ne -1 [/ math]),
[matemáticas] \ rho_ {XZ} = \ dfrac {Cov [X, Z]} {V [Z] V [X]} = \ dfrac {a (1 + \ rho)} {2a ^ 2 (1 + \ rho )} = \ dfrac {1} {2a} [/ math].
Similar,
[matemáticas] \ rho_ {YZ} = \ dfrac {1} {2a} [/ matemáticas].
Deje [math] a = \ dfrac {1} {2 \ rho} [/ math].
Entonces [math] \ rho_ {XY} = \ rho_ {YZ} = \ rho_ {XZ} = \ rho [/ math].
[matemáticas] \ por lo tanto -1 <\ rho \ le 1 [/ matemáticas].