Cómo encontrar y probar una fórmula para [matemáticas] f (n + 1) ^ 3 + f (n) ^ 3 – f (n-1) ^ 3 [/ matemáticas] para [matemáticas] n \ geq 2 [/ matemáticas ] donde [matemáticas] f (n) [/ matemáticas] es el enésimo número de Fibonacci

Answer 1

Considere la forma matricial del número de Fibonacci:
[matemáticas] A ^ n = \ left (\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {matrix} \ right) ^ n = \ left (\ begin {matrix} f (n + 1) & f (n) \\ f (n) & f (n-1) \ end {matrix} \ right) [/ math]

Ahora,
[matemáticas] A ^ {3n} = \ left (\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {matrix} \ right) ^ {3n} = \ left (\ begin {matrix} f (3n + 1) & f (3n) \\ f (3n) & f (3n-1) \ end {matrix} \ right) [/ math]

Pero, [matemáticas] A ^ {3n} = (A ^ n) ^ 3 = \ left (\ begin {matrix} f (n + 1) & f (n) \\ f (n) & f (n-1) \ end {matrix} \ right) ^ {3} [/ math]

Ahora, comparando las dos formas que obtenemos,
[matemáticas] f (3n) = f (n) f (n + 1) ^ 2 + f (n) ^ 3 [/ matemáticas] [matemáticas] + f (n-1) f (n) f (n + 1 ) + f (n-1) ^ 2f (n) [/ matemáticas]

Sustituya [matemáticas] f (n) = f (n + 1) – f (n-1) [/ matemáticas] arriba en todas partes excepto [matemáticas] f (n) ^ 3 [/ matemáticas], y obtenemos,
[matemáticas] f (3n) = f (n + 1) ^ 3 + f (n) ^ 3 – f (n-1) ^ 3 [/ matemáticas]

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Nota general: Recuerde, siempre que tenga una expresión con [math] f (n) ^ k [/ math], tendrá algo que ver con [math] f (kn) [/ math] porque [math] A ^ { nk} = (A ^ n) ^ k [/ matemáticas]. Conocer la expresión matricial es muy útil para adivinar muchas identidades relacionadas con Fibonacci.

Answer 2

[Pregunta para responder]

Daré una respuesta más general, ya que la pregunta original ya se ha abordado.

Al tratar de encontrar una expresión de forma cerrada para identidades como las que involucran los números de Fibonacci, el mejor enfoque es mirar algunos ejemplos y luego conjeturar un resultado e intentar probarlo. Si funciona bien y bien, si no funciona, busque una suposición diferente.

Answer 3

Como pista: existe un vínculo claro y directo entre esos tres números, y este vínculo es también la definición de la secuencia de fibbonaci. ¡Escriba el (n + 1) en términos de los demás, tal vez, y vea qué se le ocurre!

¡Dime si te quedas atascado!

Answer 4

Para encontrar qué [matemática] f (n + 1) ^ 3 + f (n) ^ 3-f (n-1) ^ 3 [/ matemática] haga lo siguiente:
[matemáticas] f (n + 1) ^ 3 + f (n) ^ 3-f (n-1) ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] = f (n) ^ 3 + (f (n + 1) -f (n-1)) [/ matemáticas]
[matemáticas] (f (n + 1) ^ 2 + f (n-1) ^ 2 + f (n + 1) f (n-1)) [/ matemáticas]
[matemáticas] = f (n) ^ 3 + f (n) [/ matemáticas]
[matemáticas] (f (n + 1) ^ 2 + f (n-1) ^ 2 + f (n + 1) f (n-1)) [/ matemáticas]
[matemáticas] = f (n) (f (n) ^ 2 + f (n + 1) ^ 2)) [/ matemáticas]
[matemáticas] + f (n) (f (n-1) ^ 2 + f (n + 1) f (n-1)) [/ matemáticas]
Usando la propiedad de los números de Fibonacci [matemáticas] f (a) f (n-a + 1) + f (a-1) f (na) = f (n) [/ matemáticas] lo anterior se convierte en:
[matemáticas] = f (n) f (2n + 1) + f (n-1) f (2n) [/ matemáticas]
[matemáticas] = f (3n) [/ matemáticas]

Answer 5

La fórmula explícita de f ( n ) if [math] f (n) = (\ phi ^ n – \ psi ^ n) / \ sqrt {5} [/ math], con [math] \ phi, \ psi = ( 1 \ pm \ sqrt {5}) / 2 [/ math]. No es difícil sustituir f en tu expresión para obtener la fórmula que estás buscando.