¿Hay una prueba simple para [matemáticas] \ frac {\ left (\ sum x \ right) ^ 2 + \ sum \ left (x ^ 2 \ right)} {2} = \ sum \ left (x \ cdot \ left (\ sum x \ right) \ right) [/ math]?

Answer 1

Voy a responder esto desde los primeros principios usando el símbolo de suma de 3 puntos (…). Lo que es hermoso para mí sobre el siguiente enfoque, es que no involucra notación matemática de peso pesado, pero logra llevarte allí.

Dejar,

[matemáticas] S_n [/ matemáticas] = suma de los primeros n números,

[math] S_ {n ^ 2} [/ math] = suma de [math] t ^ 2 [/ math] para todos los enteros [math] 0 <t <= n [/ math].

Comencemos con lo que enumeras en tu descripción. Ahora, has identificado el RHS correctamente. Es, de hecho,

[matemáticas] 1 + 2 * (1 + 2) + 3 * (1 + 2 + 3) +… + n * (1 + 2 + 3 +… + n) [/ matemáticas]

Observe que el 1 ocurrirá todas las n veces, el 2 ocurrirá solo (n-1) veces, el 3 aún menos (n-3 veces). En general, el elemento t ‘ocurrirá (nt) veces.

Por lo tanto, tenemos el RHS,

[matemáticas] = 1 * (1 + 2 + 3 +… + n) + 2 * (2 + 3 + 4 +… + n) + 3 * (3 + 4 + 5 +… + n) +… + n * (n) [/ matemáticas]

Esto se puede escribir como:

[matemáticas] = 1 * (S_n) + 2 * (S_n – 1) + 3 * (S_n – 1 – 2) +… + n * (S_n – S_ {n-1}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (1 + 2 + 3… + n) * S_n – (2 * S_1 + 3 * S_2 +… + n * S_ {n-1}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (S_n) ^ 2 – (1 * (S_1 – 1) + 2 * (S_2 – 2) + 3 (S_3 – 3) +… + n (S_n – n)) [/ matemáticas]

Observe cómo agregué [math] 1 * (S_1 – 1) [/ math] furtivamente. Si lo piensa, se evalúa a 0 y, por lo tanto, no hace ninguna diferencia en la suma. Sin embargo, hace que manipular toda la expresión sea mucho más fácil (por eso lo agregué en primer lugar).

También tenga en cuenta cómo para cada [matemática] S_i [/ ​​matemática], la he sustituido con [matemática] S_ {i + 1} – (i + 1) [/ matemática] Por ejemplo, [matemática] S_5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 – 6 = S_6 – 6 [/ matemáticas].

Continuando con lo que tenemos el RHS es ahora,

[matemáticas] = (S_n) ^ 2 – (1 * (S_1 – 1) + 2 * (S_2 – 2) + 3 (S_3 – 3) +… + n (S_n – n)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (S_n) ^ 2 – ((1 * S_1 + 2 * S_2 +… + n * S_n) – (1 ^ 2 + 2 ^ 2 +… + n ^ 2)) [/ matemáticas]

Hmm, parece que estamos llegando a algún lado … sigamos con eso …

[matemáticas] = (S_n) ^ 2 – ((1 * S_1 + 2 * S_2 +… + n * S_n) – S_ {n ^ 2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (S_n) ^ 2 + S_ {n ^ 2} – (1 * S_1 + 2 * S_2 +… + n * S_n) [/ matemáticas]

Espera un segundo. ¿No es esa última expresión [matemáticas] (1 * S_1 + 2 * S_2 +… + n * S_n) [/ matemáticas] con lo que comenzamos? ¡Si! Digamos que es difícil , suma .

Por lo tanto, nuestro RHS, que es difícil de resumir , es

[math] difficultSum = (S_n) ^ 2 + S_ {n ^ 2} – difficultSum [/ math]

Por lo tanto,

[matemática] 2 * [/ matemática] [matemática] difícilSuma [/ matemática] [matemática] = (S_n) ^ 2 + S_ {n ^ 2} [/ matemática]

[matemática] \ por lo tanto difícilSum = \ frac {(S_n) ^ 2 + S_ {n ^ 2}} {2} [/ matemática]

¡Hurra! Lo hicimos. 🙂

Answer 2

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ ni \ sum_ {j = 1} ^ {i} j [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sum_ {i = 1} ^ ni \ frac {i (i + 1)} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ sum_ {i = 1} ^ ni ^ 2 (i + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ sum_ {i = 1} ^ ni ^ 3 + i ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ ni ^ 3 + \ sum_ {i = 1} ^ ni ^ 2} {2} [/ matemáticas]

Finalmente, [math] \ sum_ {i = 1} ^ ni ^ 3 = (\ sum_ {i = 1} ^ ni) ^ 2 [/ math] de [1]

[1] Número triangular cuadrado

---

Alternativamente, use la inducción.
Reclamación: [matemáticas] \ frac {(\ sum_ {i = 1} ^ ni) ^ 2 + \ sum_ {i = 1} ^ ni ^ 2} {2} = \ sum_ {i = 1} ^ ni \ sum_ { j = 1} ^ {i} j [/ matemáticas]
Fácil de mostrar verdadero n = 1, 2, 3. Suponga verdadero para n = k. Para n = k + 1,
[matemáticas] (\ sum_ {i = 1} ^ {k + 1} i) ^ 2 = (\ sum_ {i = 1} ^ {k} i) ^ 2 + 2 (k + 1) (\ sum_ {i = 1} ^ {k} i) + (k + 1) ^ 2 [/ matemáticas]
Por lo tanto,
[matemáticas] \ frac {(\ sum_ {i = 1} ^ {k + 1} i) ^ 2 + \ sum_ {i = 1} ^ {k + 1} i ^ 2} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {(\ sum_ {i = 1} ^ ki) ^ 2 + \ sum_ {i = 1} ^ ki ^ 2} {2} [/ matemáticas] [matemáticas] + (k + 1) ( \ sum_ {i = 1} ^ {k} i) + (k + 1) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sum_ {i = 1} ^ ki \ sum_ {j = 1} ^ {i} j + (k + 1) (\ sum_ {i = 1} ^ {k} i) + (k + 1 ) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sum_ {i = 1} ^ ki \ sum_ {j = 1} ^ {i} j + (k + 1) (\ sum_ {i = 1} ^ {k + 1} i) [/ matemáticas ]
[matemáticas] = \ sum_ {i = 1} ^ {k + 1} i \ sum_ {j = 1} ^ {i} j [/ matemáticas]

Por lo tanto, demostrado por principio de inducción.

Answer 3

Tenga en cuenta que el LHS es invariante con respecto a todas las permutaciones de variables.

El RHS también debe ser así, en particular, debe ser capaz de escribirlo como un polinomio en funciones simétricas:

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_i \ sum_ {j = 1} ^ {i} x_j = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_i ^ 2 + \ sum_ {1 \ leq j \ lt i \ leq n} x_i x_j [/ math] (*)

Ahora tenga en cuenta que [matemáticas] \ left (\ sum_ {i = 1} ^ {n} x_i \ right) ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_i ^ 2 + 2 \ sum_ {1 \ leq j \ lt i \ leq n} x_i x_j. [/ math]

Por lo tanto, [matemática] \ sum_ {1 \ leq j \ lt i \ leq n} x_i x_j = \ sum_ {1 \ leq i} \ frac {1} {2} \ left (\ left (\ sum_ {i = 1} ^ {n} x_i \ right) ^ 2 – \ sum_ {i = 1} ^ {n} {x_i} ^ 2 \ right) [/ math].

Al enchufarlo (*) obtienes la declaración.

Answer 4

Prueba directa por inducción.
Caso base : [matemáticas] x ^ 2_1 = x ^ 2_1 [/ matemáticas]
Paso inductivo : el RHS cambia por [matemáticas] x_ {n + 1} \ cdot (\ Sigma x) [/ matemáticas]. El LHS cambia por [matemáticas] \ frac {x_ {n + 1} ^ 2 + 2x_ {n + 1} (\ Sigma x – x_ {n + 1}) + x_ {n + 1} ^ 2} {2} [/ matemáticas] que es lo mismo.

Answer 5

En realidad, esto no es tan malo, si solo cambias un poco la notación, se vuelve mucho más claro por qué estas dos cosas son iguales. Primero, supongamos que estamos sumando una serie [math] x_i [/ ​​math] (supongamos que hay términos [math] n [/ math]; tomar [math] i \ ge n [/ math] como índice da 0) entonces la declaración se convierte

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {(\ sum_ {i \ ge 0} {x_i}) ^ 2+ \ sum_ {i \ ge 0} {x_i ^ 2}} {2} = \ sum_ {i \ ge 0} {x_i \ sum_ {0 \ le j \ le i} {x_j}} [/ math]

Ahora multiplique por dos en ambos lados y vuelva a escribir RHS como [math] \ sum_ {i \ ge j} {x_ix_j} [/ math]. Obtenemos

[matemáticas] (\ sum_ {i \ ge 0} {x_i}) ^ 2+ \ sum_ {i \ ge 0} {x_i ^ 2} = 2 \ sum_ {i \ ge j} {x_ix_j} [/ math]

Aquí vale la pena señalar que [math] (\ sum_ {i \ ge 0} {x_i}) ^ 2 = \ sum_ {i, j} {x_ix_j} [/ math]. Nuestra suma en RHS cuenta el caso [math] i = j [/ math] dos veces en lugar de una, lo que se explica por [math] \ sum_ {i \ ge 0} {x_i ^ 2} [/ math] en LHS.

Answer 6

Podríamos usar la secuencia [matemáticas] a_1, a_2, …, a_n [/ matemáticas] en lugar de números. Entonces el lado izquierdo se convierte en:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ left (\ sum_ {i = 1} ^ na_i \ right) ^ 2 + \ sum_ {i = 1} ^ na_i ^ 2} {2} = \ sum_ {i = 1} ^ na_i ^ 2 + \ frac {1} {2} \ sum_ {i \ neq j, i, j = 1} ^ {i, j = n} a_ia_j [/ math]

La cantidad [math] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ sum_ {i \ neq j, i, j = 1} ^ {i, j = n} a_ia_j [/ math] es la suma de todos los productos [math ] a_ia_j [/ math] tal que [math] i \ neq j [/ math] con solo un miembro del par [math] (a_ia_j, a_ja_i) [/ math] incluido en la suma.

Visualizamos gráficamente toda la expresión del lado izquierdo en forma de matriz cuadrada como se muestra a continuación:

Las filas y columnas son valores asignados como se muestra. El valor de cada celda es el valor de su fila multiplicado por el valor de su columna. Es fácil ver que la cantidad de la izquierda se obtiene como la suma de todas las celdas coloreadas (en oposición a las que están atenuadas).

Considere la suma de las celdas de la fila [matemáticas] i [/ matemáticas] que se incluyen en la suma de la izquierda. La suma es igual a [math] \ displaystyle a_i (a_1 + a_2 +… + a_i) = a_i \ sum_ {j = 1} ^ ia_j [/ math]. Por lo tanto, la suma de todas las celdas de color en todas las filas es [matemática] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ left (a_i \ sum_ {j = 1} ^ ia_j \ right) [/ math] que es exactamente lo que nos propusimos probar.

Answer 7

El argumento combinatorio es el más fácil. Considere los pares i * j en la suma. Cada uno se cuenta una vez por el mismo a la derecha y dos veces por la suma del numerador a la izquierda. Entonces son iguales. Ni siquiera tiene que hacer los cálculos, solo este argumento verbal combinatorio de que tienen los mismos términos es suficiente.