Cómo demostrar que [math] \ forall X \ in \ mathbb R [/ math], if [math] S_n = \ left \ {X, 2X, \ ldots, (n-1) X \ right \} [/ math ], entonces [matemática] \ existe Y \ en S_n [/ matemática] y [matemática] \ existe Z \ in \ mathbb N [/ matemática] tal que [matemática] | YZ | \ le \ frac 1 n [/ math]

Divida [matemáticas] [0,1] [/ matemáticas] en [matemáticas] n [/ matemáticas] partes iguales:
[matemáticas] [0, 1 / n], [1 / n, 2 / n], \ ldots, [(n-1) / n, 1] [/ matemáticas]
Deje que [math] \ {x \} [/ math] sea la parte fraccionaria del número [math] x. [/ Math]
Considere las partes fraccionarias de [matemáticas] X, 2X, \ ldots \, (n-1) X. [/ Matemáticas]
Si alguno de esos cae en el primer y último segmento, entonces hemos terminado.
De lo contrario, cada uno de ellos debe estar en uno de los segmentos intermedios [matemáticos] n-2 [/ matemáticos]. Por principio de palomar, [matemática] 2 [/ matemática] de las partes fraccionarias, digamos [matemática] \ {aX \} [/ matemática] y [matemática] \ {bX \} [/ matemática] están en los mismos segmentos. Suponga que [matemática] a> b. [/ Matemática] Entonces [matemática] (aX + c) – bX [/ matemática] es un número entero (si [matemática] \ {aX \} <\ {bX \} [/ matemática ]) o
[matemática] (aX – c) – bX [/ matemática] es un entero (si [matemática] \ {aX \} \ geq \ {bX \} [/ matemática]). Aquí [matemáticas] c = | \ {aX \} – \ {bX \} | <1 / n [/ matemáticas]. En cualquier caso, [math] aX – bX [/ math] difiere de un número entero como máximo en [math] 1 / n [/ math]

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