Cómo evaluar esta expresión de raíz cuadrada infinitamente anidada

Answer 1

Hace unos días, estaba leyendo sobre la misma pregunta en el libro Ecuaciones funcionales y cómo resolverlas por Christopher G Small …
Esta pregunta fue propuesta realmente por Ramanujan. Él mismo no tenía la solución cuando propuso esta pregunta. Pocos años después, él mismo dio la solución:
x + n + a =
(a * x + (n + a) ^ 2 + x * (a * (x + n) + (n + a) ^ 2 + (x + n) * (…) ^ 0.5) ^ 0.5) ^ 0.5
El radical anidado propuesto anteriormente por Ramanujan fue un caso especial con x = 2, a = 0 yn = 1
3 = 9 ^ 0.5
3 = (1 + 2 * 4) ^ 0.5
3 = (1 + 2 * (16) ^ 0.5) ^ 0.5
3 = (1 + 2 * (1 + 3 * 5) ^ 0.5) ^ 0.5
3 = (1 + 2 * (1 + 3 * (25) ^ 0.5) ^ 0.5) ^ 0.5
………
Mientras escribimos la expresión dada, en realidad estamos explotando la siguiente propiedad:
n ^ 2 = 1 + (n-1) * ((n + 1) ^ 2) ^ 0.5 {Nota: Esto no es más que el uso de esta propiedad simple: n ^ 2 – 1 = (n-1) * ( n + 1)} …… .. (1)
pon ‘n + 1’ en lugar de ‘n’ en la expresión anterior, obtienes
(n + 1) ^ 2 = 1 + (n) * ((n + 2) ^ 2) ^ 0.5
Ahora, sustituye esto en la ecuación (1), obtienes
n ^ 2 = 1 + (n-1) * (1 + n * ((n + 2) ^ 2) ^ 0.5) ^ 0.5
Continúe este proceso hasta el infinito, saque la raíz y sustituya n con 3 y obtendrá su respuesta. 🙂

Answer 2

Esto se explica en el artículo de Wikipedia Anidado radical [1,2]. Ajuste

[matemáticas]
F (x) = \ sqrt {1 + x \ sqrt {1+ (x + 1) \ sqrt {\ dots}}}
[/matemáticas]

uno puede derivar la ecuación

[matemáticas]
F (x) ^ 2 = 1 + x F (x + 1)
[/matemáticas]

que tiene solución

[matemáticas]
F (x) = x + 1
[/matemáticas]

establecer [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] da 3.

[1] El artículo en realidad da una generalización de dos parámetros de lo que resumí aquí.

[2] Además, eche un vistazo a esta página de artículo agradable en isibang.ac.in vinculada por David Joyce en los comentarios.

Answer 3

Considera la identidad,
[matemáticas] (x + n) ^ 2 = n ^ 2 + 2nx + x ^ 2 = [/ matemáticas] [matemáticas] n ^ 2 + x ((x + n) + n) [/ matemáticas]
Toma raíces cuadradas para obtener,
[matemáticas] (x + n) = \ sqrt {n ^ 2 + x ((x + n) + n)} [/ matemáticas]
Ahora dentro de los corchetes tienes algo + n, por lo que puedes sustituir
en la misma ecuación con x + n reemplazando x para obtener,
[matemáticas] x + n = \ sqrt {n ^ 2 + x \ sqrt {n ^ 2 + (x + n) ((x + 2n) + n)}} [/ matemáticas]
y repite el proceso para obtener,
[matemáticas] (x + n) = \ sqrt {n ^ 2 + x \ sqrt {n ^ 2 + (x + n) \ sqrt {\ cdots}}} [/ matemáticas]
Si ahora configura [matemática] n = 1 [/ matemática], [matemática] x = 2 [/ matemática]
usted obtiene,
[matemáticas] 3 = \ sqrt {1 + 2 \ sqrt {1 + 3 \ sqrt {1 + 4 \ sqrt {\ ldots}}}} [/ matemáticas]
Espero que ya lo hayas entendido !! 🙂