¿Qué es una prueba algebraica para [math] \ mathrm {e} ^ {\ ln (x)} = x [/ math]?

Er, ¿no debería darse esa prueba a la inversa? Aquí, déjame formatearlo por ti:

Deje [math] x \ in (0, \ infty) [/ math]. Entonces

[matemáticas] \ begin {align} \ ln (x) & = \ ln (x) \ cdot 1 \\ & = \ ln (x) \ cdot \ ln (e) \\ & = \ ln (e ^ {\ ln (x)}) \\\\\ Rightarrow x & = e ^ {\ ln (x)}. \ end {align} [/ math]

La segunda línea utiliza la suposición de que [math] \ ln (e) = 1 [/ math]; la tercera línea usa la identidad [math] a \ ln (b) = \ ln (a ^ b) [/ math] para [math] a \ in \ mathbb {R}, b> 0 [/ math]; y la línea final usa la inyectividad de [math] \ ln [/ math]. Depende de usted determinar si ha establecido y / o está satisfecho con esas propiedades.

Otros respondedores parecen haber tenido problemas con si estaría formulando su pregunta, o utilizando una prueba basada en los supuestos anteriores, en la forma en que lo hizo, si llegara a este punto a través de un enfoque bien fundamentado para establecer hasta el logaritmo natural y demás. Algunas de estas preocupaciones son legítimas, aunque generalmente son ignoradas por un tratamiento elemental de cálculo o precalculo.

Por ejemplo, ¿cómo expones un número por un exponente irracional? Para racional [matemática] b [/ matemática] (digamos [matemática] b = p / q [/ matemática], con [matemática] p \ in \ mathbb {Z}, q \ in \ mathbb {N} \ barra invertida \ { 0 \} [/ math]), podrías escribir

[matemáticas] a ^ b: = \ sqrt [q] {a ^ p}. [/ matemáticas]

Pero eso es un poco … desordenado, y generalizar a exponentes irracionales a través de este enfoque parece ser desagradable.

En cambio, la mayoría de los matemáticos toman lo siguiente como definición:

[matemáticas] a ^ b: = \ exp (b \ cdot \ ln (a)), [/ matemáticas]

donde [math] \ exp [/ math] y [math] \ ln [/ math] son funciones familiares, pero se han definido por medios más rigurosos. (por ejemplo, la serie de Taylor, el interés compuesto defn o el diferencial eqn defn de la función exponencial, la definición integral del logaritmo natural) La definición anterior también se puede utilizar para definir la exponenciación compleja, una vez que haya dado una definición del Complejo logaritmo. Por supuesto, debe demostrar que esta definición se alinea bien con la definición anterior y satisface el tipo de propiedades que esperaría.

A partir de aquí, una prueba se parecería más a

[matemáticas] \ begin {align} e ^ {\ ln (x)} & = \ exp (1) ^ {\ ln (x)} \\ & = \ exp (\ ln (x) \ ln (\ exp ( 1))) \\ & = \ exp (\ ln (x) \ cdot 1) \\ & = x ^ 1 \\ & = x \ end {align} [/ math]

o algo similarmente trivial. (EDITAR: extendido ligeramente para comenzar desde [matemáticas] e ^ {\ ln (x)} [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] \ exp (\ ln (x)) [/ matemáticas].) Básicamente, todo el trabajo se pone hecho para verificar varias propiedades de la definición de exponenciación dada anteriormente.

EDITAR: cualquiera que venga aquí esperando una “prueba algebraica” podría estar decepcionado. El autor de la pregunta especificó en la pregunta que no estaba interesado en la “prueba de identidad de funciones inversas” (supongo que aquí es donde dejamos que [math] f: (0, \ infty) \ to \ mathbb {R} [/ math] ser el inverso derecho de [math] exp [/ math] y deducir que [math] f = 1_ \ mathbb {R} \ circ f = (\ ln \ circ \ exp) \ circ f = \ ln \ circ (\ exp \ circ f) = \ ln \ circ 1 _ {(0, \ infty)} = \ ln) [/ math]. Irónicamente, el algebraista en mí consideraría que esta es la prueba más “algebraica” que se ofrece aquí. También se basa en que [math] \ ln [/ math] es el inverso izquierdo de [math] \ exp [/ math] (de hecho, es solo una aplicación de un resultado más general y básico que se puede probar de la misma manera: si f es una biyección y ha dejado g inversa, entonces g también es su inversa derecha), lo que simplemente resalta aún más que la mayor parte del trabajo se realiza para definir y establecer las propiedades básicas de [matemáticas] \ exp [/ matemáticas] y [ matemáticas] \ ln [/ matemáticas].