¿Son [matemática] f (x) = {\ log_2} x ^ 2 [/ matemática] y [matemática] g (x) = 2 {\ log_2} x [/ matemática] igual?

Answer 1

Se dice que dos funciones [matemáticas] f [/ matemáticas] y [matemáticas] g [/ matemáticas] son ​​iguales si tienen el mismo dominio [matemáticas] D [/ matemáticas] y [matemáticas] f (t) = g (t ) \; \ forall t \ en D [/ math].
Se da que [matemáticas] f (x) = log_2 (x ^ 2) [/ matemáticas] y [matemáticas] g (x) = 2log_2 (x) [/ matemáticas].
El dominio de [math] f [/ math] es [math] \ {x | x \ in \ mathbb {R} – \ {0 \} \} [/ math], mientras que el dominio de [math] g [/ math] es [math] \ {x | x \ in \ mathbb {R} ^ {+} \} [/ math]. Dado que ambos dominios son diferentes, las funciones [math] f [/ math] y [math] g [/ math] no son iguales.

Editar: Al calcular los logaritmos a veces usamos [math] log (x ^ 2) = 2log (x) [/ math]. Es válido porque restringimos [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas] mientras usamos la ecuación anterior.
[math] log (x ^ 2) = 2log (x) [/ math] solo cuando [math] x \ in \ mathbb {R} ^ + [/ math].

De lo contrario, las dos funciones [matemáticas] f (x) = log_2 (x ^ 2) [/ matemáticas] y [matemáticas] g (x) = 2log_2 (x) [/ matemáticas] no son iguales ya que sus dominios son diferentes.

Answer 2

No, no son iguales. El dominio es diferente para ambos.

Ejemplo.
la función que contiene x ^ 2 se definirá para -2, ya que será log4 con la base 2 que da 2 .. Pero la otra función no está definida para -2.

Este ejemplo es, creo, suficiente para demostrar que no son iguales.

Answer 3

No, ellos no son. Aunque pueda aparecer desde la propiedad

que son iguales pero consideran que sus dominios f (x) se definen para todos los x reales excepto 0.

(logt se define para t> 0 & x ^ 2 es positivo para todas las x reales excepto x = 0)

Pero g (x) solo se define para x> 0. También puede considerar el gráfico de las dos funciones para una mejor claridad