Tenemos [math] a, b, c, d \ in \ mathbb {R} [/ math] de modo que [math] ad = bc [/ math] y [math] a \ neq 0 [/ math] y [math ] P (x): = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [/ math]. ¿Cómo puedo factorizar [matemáticas] P (x) [/ matemáticas]?

Answer 1

Deje que [matemáticas] r_1, r_2, r_3 [/ matemáticas] sean las raíces del polinomio [matemáticas] P ‘(x): = x ^ 3 + (b / a) x ^ 2 + (c / a) x + ( d / a) [/ matemáticas]. Entonces,
[matemáticas] P ‘(x) = (x – r_1) (x – r_2) (x – r_3) [/ matemáticas]
Es decir,
[matemáticas] P ‘(x) = x ^ 3 – (r_1 + r_2 + r_3) x ^ 2 + (r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3) x – r_1r_2r_3 [/ matemáticas]
Comparando coeficientes que obtenemos,
[matemáticas] b / a = – (r_1 + r_2 + r_3) [/ matemáticas]
[matemáticas] c / a = (r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3) [/ matemáticas]
[matemáticas] d / a = – r_1r_2r_3 [/ matemáticas]

Ahora, se nos da que, [math] ad = bc [/ math], por lo tanto
[matemáticas] – (r_1 + r_2 + r_3) (r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3) = – r_1r_2r_3 [/ matemáticas]

Simplificando obtenemos,
[matemáticas] (r_1 + r_2) (- r_1r_2-r_1r_3-r_2r_3 – r_3 ^ 2) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (r_1 + r_2) (- (c / a) – r_3 ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

Si [matemática] r_1 + r_2 = 0 [/ matemática], entonces [matemática] r_3 = -b / a [/ matemática] y [matemática] r_1 = -r_2 = \ sqrt {- (c / a)} [/ matemática ]

Si [math] -r_3 ^ 2 – (c / a) = 0 [/ math], entonces podemos mostrar que [math] ad = -bc [/ math]. Por lo tanto, nuestras raíces son: [matemáticas] \ {- \ sqrt {-c / a}, \ sqrt {-c / a}, -b / a \} [/ math].

–
La respuesta de Dmitriy Genzel es mucho más simple que esto. Es mejor votar eso.

Answer 2

[matemáticas] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = {0} [/ matemáticas]

use [math] ad = bc [/ math] para resolver [math] b = \ frac {ad} {c} [/ math] y sustituya por [math] b [/ math]

[matemáticas] ax ^ 3 + \ frac {ad} {c} x ^ 2 + \ left (cx + d \ right) = {0} [/ math]

[matemáticas] \ frac {a} {c} x ^ 2 \ izquierda (cx + d \ derecha) + \ izquierda (cx + d \ derecha) = {0} [/ matemáticas]

[matemática] \ left (\ frac {a} {c} x ^ 2 + 1 \ right) \ left (cx + d \ right) = {0} [/ math]

[matemáticas] \ frac {a} {c} \ left (x ^ 2 + \ frac {c} {a} \ right) \ left (cx + d \ right) = {0} [/ math]

[matemáticas] \ frac {a} {c} \ left (x + \ sqrt {\ frac {-c} {a}} \ right) \ left (x – \ sqrt {\ frac {-c} {a}} \ right) \ left (cx + d \ right) = {0} [/ math]

las raíces son [matemáticas] \ pm \ sqrt {\ frac {-c} {a}} [/ matemáticas] y [matemáticas] – \ frac {d} {c} [/ matemáticas]

Answer 3

Simplemente sustituya [math] d = \ frac {bc} {a} [/ math] y lleve al denominador común (a). Entonces el numerador es [matemática] a ^ 2x ^ 3 + abx ^ 2 + acx + bc [/ matemática], y esto obviamente es un factor si se miran cuidadosamente los dos últimos términos y luego los dos primeros.

Answer 4

Dado P (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ………. (1)
ad = bc
b = ad / c

Sustituir la ecuación (1)
ax ^ 3 + (ad / c) x ^ 2 + cx + d = 0
a / cx ^ 2 (cx + d) + (cx + d) = 0
(cx + d) (a / cx ^ 2 + 1) = 0
a / c (x ^ 2 + c / a) (cx + d) = 0
a / c (x + √ (-c / a)) (x-√ (-c / a)) (cx + d) = 0
raíz son ± √ (-c / a) y -d / c

Factorizando problemas de polinomios