Cómo resolver [matemáticas] 2 ^ {x} = x [/ matemáticas]

Answer 1

[matemáticas] 2 ^ z = z [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {z \ ln 2} = z [/ matemáticas]

Deje [math] z = a + bi [/ math].

[matemáticas] e ^ {a \ ln 2} e ^ {ib \ ln 2} = a + bi [/ matemáticas] ($)

[matemáticas] e ^ {ib \ ln 2} = (a + bi) e ^ {- a \ ln 2} [/ matemáticas]

Establecer las partes reales e imaginarias de ambos lados iguales da:
[matemáticas] \ cos (b \ ln 2) = ae ^ {- a \ ln 2} [/ matemáticas] (*)

[matemáticas] \ sin (b \ ln 2) = be ^ {- a \ ln 2} [/ matemáticas]

Cuadra las dos ecuaciones y súmalas.

[matemáticas] 1 = (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ {- 2a \ ln 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = e ^ {2a \ ln 2} [/ matemáticas]

Resuelve para [matemáticas] b [/ matemáticas].

[matemáticas] b = \ pm \ sqrt {e ^ {2a \ ln 2} -a ^ 2} [/ matemáticas] (**)

Sustituya esto en la ecuación (*) anterior.

Esto nos deja encontrar un cero real de la función:
[matemáticas] f (a) = \ cos (\ ln 2 \ sqrt {e ^ {2a \ ln 2} -a ^ 2}) – ae ^ {- a \ ln 2} [/ matemáticas]

Numéricamente, encontramos: [matemática] a = 0.824678546142074 [/ matemática].

Ahora conectamos este valor de [math] a [/ math] en la ecuación (**) anterior. Encontramos que [math] b = \ pm 1.567432123849648 [/ math]

Entonces obtenemos un par de posibles soluciones. (Necesitamos verificarlos a ambos, ya que uno podría ser una solución espuria que aparece cuando cuadramos las ecuaciones en un primer paso).

[matemáticas] z \ aprox. 0.82468 \ pm 1.56743 i [/ matemáticas]

Resulta que ambos satisfacen [matemáticas] 2 ^ z = z [/ matemáticas].

Por supuesto, estas no son las ÚNICAS dos soluciones. Hay infinitamente muchos. Podríamos volver a la ecuación marcada ($) y en el lado izquierdo, puede reemplazar [matemáticas] e ^ {ib \ ln 2} [/ matemáticas] con [matemáticas] e ^ {i (b \ ln 2 + 2n \ pi)} [/ math] para cualquier [math] n \ in \ mathbb Z [/ math]. Eso proporciona infinitas ecuaciones similares que se pueden resolver de la misma manera.

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Además, para demostrar que no hay soluciones reales, podemos considerar la función [matemáticas] g (x) = 2 ^ x -x [/ matemáticas]. Encontramos que [matemáticas] g ‘(x) = 2 ^ x \ ln 2-1 [/ matemáticas]. También encontramos que [math] g ” (x) = 2 ^ x (\ ln 2) ^ 2> 0 [/ math] [math] \ forall x [/ math].

Encontramos el cero de [math] g ‘[/ math] para obtener:
[matemáticas] 2 ^ x \ ln 2 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ x = \ frac 1 {\ ln 2} [/ matemáticas]
[matemática] x = \ frac {\ ln {\ frac 1 {\ ln 2}}} {\ ln 2} \ aproximadamente 0.5288 [/ matemática]

Ahora, dado que [math] g ” (x)> 0 [/ math] [math] \ forall x [/ math], sabemos que este valor de [math] x [/ math] es el minimizador global de [math] g [/ matemáticas].

Al conectar este valor de [matemática] x [/ matemática] a [matemática] g (x) [/ matemática] se obtiene [matemática] g (x) = \ frac {1- \ ln {\ frac 1 {\ ln 2}} } {\ ln 2} \ aprox. 0.914> 0 [/ matemática]. Como el mínimo global es positivo, se deduce que [math] g (x) = 2 ^ x -x> 0 [/ math] [math] \ forall x \ in \ mathbb R [/ math]. Por lo tanto, [math] 2 ^ x> x [/ math] para cualquier valor real de [math] x [/ math].

Answer 2

Permítanos reescribir su ecuación. Primero, conviértalo en forma exponencial:

[matemáticas] \ exp (x \ ln 2) = x. [/ matemáticas]

Luego, divida ambos lados entre [math] \ exp (x \ ln 2) [/ math]:

[matemáticas] 1 = x \ exp (-x \ ln 2). [/ matemáticas]

Luego, multiplique ambos lados por [math] – \ ln 2 [/ math]:

[matemáticas] – \ ln 2 = (-x \ ln 2) \ exp (-x \ ln 2). [/ matemáticas]

El lado derecho ahora tiene la misma forma que la ecuación de definición para la función Lambert W. Lo que significa que:

[matemáticas] {\ rm W} (- \ ln 2) = -x \ ln 2, [/ matemáticas]

o

[matemáticas] x = – \ displaystyle \ frac {{\ rm W} (- \ ln 2)} {\ ln 2}. [/ matemáticas]

Para tales argumentos negativos, la función Lambert W es compleja. La solución principal, según Maple, es

[matemáticas] x = 0.8247 – 1.5674i. [/ matemáticas].

Answer 3

Permítanos otra forma de encontrar soluciones.

Paso a paso :

1. [matemáticas] 2 ^ x = x [/ matemáticas] | (en composición)
2. [matemáticas] ln (2 ^ x) = ln (x) [/ matemáticas] | [matemáticas] ln (a ^ b) = b * ln (a) [/ matemáticas]
3. [matemáticas] x * ln (2) = ln (x) [/ matemáticas] | asumir [matemáticas] x! = 0 [/ matemáticas]
4. [matemáticas] ln (2) = ln (x) / x [/ matemáticas] | trama

No hay soluciones reales.

Dos soluciones complejas con Mathica:

• [matemáticas] x = e ^ (- W (-log (2))) [/ matemáticas]
• [matemáticas] x = e ^ (- W _ (- 1) (- log (2))) [/ matemáticas]

(suponiendo un logaritmo de valor complejo)

• [matemáticas] x ~~ 0.824679-1.56743 i [/ matemáticas]
• [matemáticas] x ~~ 0.824679 + 1.56743 i [/ matemáticas]

Answer 4

Para el tipo de problema donde tenemos [math] x [/ math] como exponente y base, nuestra mejor opción es usar la función Lambert-W [1].

[matemáticas] 2 ^ x = x [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ ln 2 = \ ln x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln 2 = \ dfrac {\ ln x} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln 2 = \ ln x \ cdot e ^ {- \ ln x} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ ln 2 = – \ ln x \ cdot e ^ {- \ ln x} [/ matemáticas]

[matemáticas] W (- \ ln 2) = – \ ln x [/ matemáticas]

[matemáticas] x = e ^ {- W (- \ ln 2)} [/ matemáticas]

Nuestra solución principal ([matemáticas] W_0 [/ matemáticas]) es

[matemáticas] x \ aproximadamente 0.8246785 – 1.5674321i [/ matemáticas] [2]

Notas al pie

[1] La respuesta de Finn Frankis a ¿Qué es la función Lambert W?

[2] Motor de conocimiento computacional

Answer 5

Como se ha demostrado en las diversas respuestas ya dadas, existen soluciones complejas para la ecuación.

[matemáticas] 2 ^ x = x [/ matemáticas]

Usando Mathematica, la solución de la ecuación dada es:

[matemáticas] x = – \ frac {W_n (- \ ln (2))} {\ ln (2)} [/ matemáticas]

con [matemáticas] n \ in \ mathbb {Z} [/ matemáticas]
W es la función de registro del producto.

Usando las funciones Solve [] (con una salida numérica) y NSolve [] en Mathematica, una solución numérica compleja de la ecuación es la siguiente:
x = 0.8246785461420742223 – 1.5674321238496478611 i

La Mathematica La función FindInstance [] proporciona muchas soluciones numéricas.
Estas son algunas de estas soluciones:

• x = 8.23589479898320897 – 301.36253203025586340 i
• x = 9.69208470809398769 + 827.13882172871078460 i
• x = 9.25183919325097776 – 609.58054441737051786 i
• x = 12.9405681464660734 + 7861.3762911890642802 i
• x = 12.2815850149994257 + 4978.7940569944475812 i
• x = 12.2550764301134372 + 4888.1467959864078389 i
• x = 12.0849013733948457 + 4344.2631826526727184 i
• x = 11.9754953106392426 + 4026.9976957361700769 i
• x = 11.8606275784605434 + 3718.7968950933017402 i
• x = 11.4668291239957215 + 2830.4530639071243156 i
• x = 11.4575588601734158 + 2812.3235904184374647 i
• x = 11.3108437172032999 + 2540.3814360531271031 i
• x = 10.8114586983542618 + 1797.0721168667898344 i
• x = 10.5917982120979106 + 1543.2587268449390888 i
• x = 11.5736607673873556 – 3048.0067173125316200 i
• x = 11.6969541970801935 – 3319.9487209581070324 i
• x = 11.7736597830153451 – 3501.2433582173358422 i
• x = 11.9393234971974529 – 3927.2856769760796319 i
• x = 12.2920535545055906 – 5015.0529608476584436 i
• x = 12.7917502636345253 – 7090.8748393078533693 i
• x = 12.8371359490540147 – 7317.4929180512312238 i
• x = 13.0261459061372336 – 8341.8065881947158234 i
• x = 13.1319126929422710 – 8976.3371503027258025 i

También he usado las funciones de Mathematica SetPrecision [] y N [] para obtener resultados numéricos con precisión adicional.

Answer 6

Sí, en realidad hay infinitas soluciones según Wolfram. Lo hice numéricamente, me gustaría saber si alguien tiene una solución analítica.

Dejar
[matemáticas] z = a + bi \ in \ mathbb {C} [/ matemáticas]
Entonces nuestra ecuación se puede expresar como
[matemáticas] a + bi = 2 ^ {a + bi} = e ^ {\ ln 2 \ veces (a + bi)} [/ matemáticas]
Esto implica dos ecuaciones
[matemáticas] \ frac {b} {a} = \ tan (\ ln 2 \ veces b) [/ matemáticas]
y
[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = e ^ {2 \ ln 2 \ veces a} [/ matemáticas]
Reescribimos el primero como
[matemáticas] a = b / \ tan (\ ln 2 \ veces b) [/ matemáticas]
y conéctelo al segundo para obtener, después de la simplificación,
[matemáticas] b ^ 2 \ csc ^ 2 (\ ln 2 \ veces b) = e ^ {2 \ ln 2 \ veces \ frac {b} {\ tan (\ ln 2 \ veces b)}} [/ matemáticas]

Conectamos esto a Wolfram para obtener infinitas soluciones, una de las cuales es
[matemáticas] a \ aprox. 0.824679, b \ aprox. 1.56743 [/ matemáticas]

Answer 7

Entonces, puedes intentar resolver 2 ^ z = z, donde z = x + iy. Use el teorema de de moivre (puede buscarlo en línea). Es posible que necesite hacer algunos gráficos porque obtendrá dos ecuaciones, y ambas deben cumplirse. La idea es que si pudieras bajar la curva azul, interceptaría el rojo. Al poner valores imaginarios para z (es decir, y no es igual a cero) puede haber respuestas. 2 notas:
1) los números imaginarios tienen la forma de z = x + iy. Los imaginarios puros son solo iy.
2) Dado que necesitas resolver dos ecuaciones, las cosas son más complejas que simplemente bajar la elevación de la línea azul.
[Actualización sobre lo que hice …
2 ^ z = z
2 ^ (x + iy) = x + iy
2 ^ x * 2 ^ (iy) = x + iy
2 ^ x * 2 ^ (i * y * ln (2)) = x + iy
cos (y * ln (2)) + i * sin (y * ln (2)) = x / 2 ^ x + i * y / 2 ^ x
equiparando partes reales e imaginarias, obtengo
(1) 2 ^ x * cos (y * ln (2)) = x
(2) 2 ^ x * sin (y * ln (2)) = y
¿Algún consejo sobre qué hacer a continuación?
]

Answer 8

Bueno, después de la conversión:
[matemáticas]
2 ^ X = X
[/matemáticas]
[matemáticas]
X = log_2 X
[/matemáticas]

Pero … Podemos decir, de acuerdo con esto, que:
[matemáticas]
2 ^ X = log_2 X
[/matemáticas]

Y sabiendo que no hay intersección entre un exponencial y un logarítmico, parece que no hay respuestas reales.

Para respuestas complejas … Esa es una buena pregunta.

Answer 9

Debería poder obtener la respuesta escribiendo x como un número complejo en forma polar y resolviendo las dos ecuaciones simultáneas (numéricamente, muy probablemente). No estoy seguro de que la respuesta sea muy interesante, pero habrá una solución (al menos, creo) en cada hoja de Riemann.

Answer 10

No hay soluciones reales para
[matemáticas]\; a ^ x = x \ text {para} a> e ^ \ frac {1} {e} [/ math]
[matemáticas] 2> e ^ \ frac {1} {e} \ aprox 1.444668 [/ matemáticas] la ecuación no tiene soluciones reales

Para encontrar soluciones imaginarias, consulte las otras respuestas 😉

Answer 11

Matlab me da la respuesta: -lambertw (0, -log (2)) / log (2), donde lambertw () es la función Lambert W. En realidad tiene una solución compleja.

Answer 12

De acuerdo, cada vez que escribo una respuesta a un problema matemático tiendo a cometer un error crucial que arruina toda mi respuesta. Así que examine esta respuesta cuidadosamente y dígame si encuentra uno de esos errores asesinos.

[matemáticas] 2 ^ x = x [/ matemáticas] [matemáticas] ln (2 ^ x) = ln (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] x (ln (2)) = ln (x) [/ matemáticas]

Podemos diferenciar cada lado, y los dos lados permanecerán iguales. La derivada de [math] ln (x) [/ math] es [math] 1 / x [/ math]. La derivada de [math] x [/ math] multiplicada por una constante es la constante, en este caso [math] ln (2) [/ math]. Entonces:

[matemáticas] ln (2) = 1 / x [/ matemáticas]

Multiplicar ambos lados por x nos deja:

[matemáticas] 1 = ln (2) * x [/ matemáticas], que podemos resolver para x.

[matemáticas] x = 1 / (ln (2)) [/ matemáticas]

Usando una calculadora, [matemáticas] 1 / (ln (2)) ≈ 1.4427 [/ matemáticas]

Pero según su gráfico, parece que no hay soluciones reales.

Quizás alguien pueda ayudarme a ver dónde me equivoqué.

Answer 13

Usando la desigualdad de Bernoulli, [matemáticas] 2 ^ x = (1 + 1) ^ x \ ge 1 + x> x [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas] nunca es igual a x.