¿Es [math] \ mathbb {N} [/ math] isomorfo con el conjunto [math] \ {1- \ frac {1} {n} | n \ in \ mathbb {N} – \ {0 \} \} \ cup \ {1 \} [/ math]?

Answer 1

Cualquier conjunto de la forma [matemáticas] \ {f (n) | n \ in \ mathbb {N} \} [/ math], donde [math] f (n) [/ math] es invertible , es trivialmente isomorfo a [math] \ mathbb {N} [/ math].

¿Por qué? Debido a que esta notación significa precisamente que toma cada número en [math] \ mathbb {N} [/ math], le aplica [math] f (n) [/ math] y obtiene el nuevo conjunto. Si [math] f (n) [/ math] es invertible, también puede volver del nuevo conjunto a [math] \ mathbb {N} [/ math]. Entonces, la definición del isomorfismo está codificada trivialmente en la definición del conjunto, con [math] f (n) [/ math] el mapa de isomorfismo.

También tenga en cuenta que no importa si quitó 0 y luego agregó 1. Si toma o agrega cualquier número finito de elementos a un conjunto que es isomorfo a [math] \ mathbb {N} [/ math], entonces el el nuevo conjunto sigue siendo isomorfo a [math] \ mathbb {N} [/ math] (prueba dejada como ejercicio para el lector).

Answer 2

Sí, una función inyectiva de [math] \ mathbb {N} [/ math] a [math] \ {1- \ frac {1} {n} | n \ in \ mathbb {N} – \ {0 \} \} \ cup \ {1 \} [/ math], sería por ejemplo: [math] g (0) = 1, g (n) = 1- \ frac {1} {n} [/ matemáticas].

Por lo tanto, los dos conjuntos son izomórficos.