¿Cómo se puede tratar y definir de manera diferente el símbolo [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] y los diferenciales en diferentes contextos y niveles de rigor matemático?

Answer 1

Esto es algo con lo que estamos familiarizados en la vida cotidiana, pero que no podemos esperar de las matemáticas. El lenguaje / notación es a menudo bastante ambiguo y requiere contexto para poder entenderlo completamente.

En matemáticas es muy común ver una frase que dice … “estrictamente deberíamos referirnos a esto como (bla, bla, bla, palabra larga y verbosa), pero a continuación nos referiremos a esto como (cosa simple) excepto cuando el significado no es claro desde el contexto “. Así es como se permite esto: en algún momento, todos acordaron que esto era razonable y que, en aras de la legibilidad / brevedad, podríamos usar anotaciones más simples (que pueden llevarnos a problemas si se interpretan mal …)

No es el caso de que cada definición de d (cosas) sea una extensión de la otra; en la práctica, existe un caso base típicamente “agradable” o “clásico” con el que todos comienzan (aquí podríamos tomar la diferenciación de funciones reales y la vieja escuela Darboux integral) esto luego se generaliza a diferentes contextos. Entonces, como Alain menciona a continuación, ya sean funciones reales, complejas, múltiples diferenciales, esquemas, etc., la definición será una generalización de dx o dy / dx adaptada a esa área de las matemáticas.

Entonces … es importante / necesario verificar lo que significa una notación de autor cuando se usa un teorema. Esperemos que esta notación se presente claramente al comienzo del texto, capítulo, documento, etc. “por dy / dx me referiré a esta definición …”.

Answer 2

Las matemáticas, como otros esfuerzos humanos, crecieron con el tiempo. Tiene una historia.

Inicialmente, cuando Leibniz inventó esa notación hace más de trescientos años, se refería a un cociente de dos diferenciales. dx denota un diferencial para x , y dy denota el diferencial correspondiente para y.

Existía preocupación sobre la validez del concepto de diferencial, ya que se suponía que era una cantidad infinitamente pequeña. Aún más desconcertante fue el concepto de un diferencial de segundo orden que se suponía que era infinita, infinitamente pequeño. Y así sucesivamente para diferenciales de orden superior.

Hace 150 años, se inventaron nuevas definiciones de derivados para que los derivados no dependieran de diferenciales, pero la notación se mantuvo porque era útil y estaba arraigada en la literatura.

Los dos enfoques definen los mismos derivados, y se sabe desde el trabajo de Robinson de mediados del siglo XX que el enfoque de Leibniz puede hacerse completamente riguroso.

Hay situaciones en las que se usa la misma terminología o notación para diferentes propósitos en matemáticas, y para eso, debe conocer el contexto en el que se usa.

Answer 3

La notación de una derivada como una “fracción de diferenciales”, [matemática] \ frac {dy} {dx} [/ matemática], es un ejemplo de lo que generalmente se conoce como abuso de notación . En algunos casos tiene sentido intuitivamente “multiplicar / dividir por el diferencial”, por ejemplo en el caso de la regla de la cadena:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} = \ frac {dy} {dx} \ frac {d} {dy}. [/ matemáticas]

Sin embargo, esto ciertamente no implica que la derivada se defina rigurosamente como una “fracción de diferenciales”. Existe una definición estándar, completamente rigurosa de derivados y diferenciales en el contexto del cálculo, que puede encontrar fácilmente en cualquier libro de texto de cálculo basado en pruebas (y también en línea).

Answer 4

Cualquier definición depende del contexto.

¿Está trabajando en funciones reales, en funciones complejas, en un espacio vectorial, en un múltiple diferencial, en un espacio de Banach, en un Esquema, en un campo de característica p (aunque el espacio está compuesto de puntos discretos, aún puede hacer una bonita geometría algebraica), …?

La magia es que tienes una noción (y un simbolismo) que funciona en todos los contextos y en cualquier nivel de rigor.