En general, los cúbicos son un dolor a menos que pueda obtener un factor.
[matemáticas] iz ^ 3 + z ^ 2 − z + i = 0 [/ matemáticas]
Solo tiene que probar 0 y 1 y -1, y [math] i [/ math], y [math] i [/ math] funciona:
[matemáticas] i (i) ^ 3 + (i) ^ 2 – (i) + i = i ^ 4 + i ^ 2 = 1 + -1 = 0. \ \ \ marca de verificación [/ math]
[math] z = i [/ math] es una raíz, por lo que [math] (zi) [/ math] debe ser un factor. Puedes escribir el otro factor.
[matemáticas] iz ^ 3 + z ^ 2 − z + i = (zi) (iz ^ 2 -1) = 0 [/ matemáticas]
Entonces [matemáticas] zi = 0 [/ matemáticas] (dando [matemáticas] z = i [/ matemáticas], que ya sabíamos) o [matemáticas] iz ^ 2–1 = 0. [/ Matemáticas]
[matemáticas] iz ^ 2 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] z ^ 2 = -i [/ matemáticas]
Tomando magnitudes [matemáticas] | z ^ 2 | = | z | ^ 2 = | -i | = 1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] | z | = 1 [/ matemáticas]. La otra raíz [matemática] z = i [/ matemática] también tiene magnitud 1, así que concluya [matemática] | z | = 1 [/ matemática] y ya está. Pero sigamos encontrando esto [matemáticas] z [/ matemáticas].
Si ha hecho esto varias veces, sabe que [matemática] -i [/ matemática] es [matemática] -90 ^ \ circ [/ matemática] o [matemática] 270 ^ \ circ [/ matemática], entonces sus raíces cuadradas son [matemáticas] -45 ^ \ circ [/ matemáticas] y [matemáticas] 135 ^ \ circ [/ matemáticas]. Estos corresponden a fases puras, magnitud uno. Son negaciones mutuas, como siempre lo son las raíces cuadradas. Ordene los valores [math] \ pm \ sqrt {2} / 2 [/ math] para seno y coseno y listo.
Pero vamos a desconectar como si no lo supiéramos. Escribimos [math] -i [/ math] en coordenadas polares. Como de costumbre, el truco de multiplicar por [matemáticas] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ matemáticas] nos da todas las soluciones.
[matemáticas] z ^ 2 = e ^ {i \ frac {- \ pi} {2}} [/ matemáticas]
[matemática] z ^ 2 = e ^ {i \ frac {- \ pi} {2}} e ^ {2 \ pi ki} \ \ \ \ \ \ \ [/ math] para entero [math] k [/ math ]
[matemáticas] z = (e ^ {i \ frac {- \ pi} {2}} e ^ {2 \ pi ki}) ^ {\ frac 1 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] z = e ^ {i (- \ frac \ pi 4 + k \ pi)} [/ matemáticas]
Esto es realmente solo dos valores, [matemática] k = 0 [/ matemática] y [matemática] k = 1 [/ matemática] funcionan tan bien como cualquiera. Agregar múltiplos de [matemáticas] 2 \ pi i [/ matemáticas] en el exponente no cambia [matemáticas] z [/ matemáticas].
Para [matemáticas] k = 0, z = e ^ {i (- \ frac \ pi 4)} = \ cos \ frac {- \ pi} {4} + i \ sin \ frac {- \ pi} {4} = \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} – i \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} [/ math]
Para [matemáticas] k = 1, z = e ^ {i (\ frac {3 pi} {4})} = \ cos \ frac {3 \ pi} {4} + i \ sin \ frac {3 \ pi} {4} = – \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} + i \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} [/ math]
