¿Alguien puede resolver x ^ x = e?

Answer 1

La solución para [matemáticas] x ^ x = e [/ matemáticas] es una raíz de [matemáticas] f (x) = x ln (x) – 1 [/ matemáticas], que es una curva suave con una sola raíz y y así un buen candidato para el método de Newton-Raphson. Para funciones simples como esta, es bastante fácil calcular usando cualquier lenguaje de computadora o incluso una calculadora.

Como la función es suave y se comporta bien, el método converge y encuentra la raíz (solución) muy rápido. Te mostraré los pasos a continuación.

La ecuación para el método Newton-Raphson es [matemática] x_ {n + 1} = x_n – f (x_n) / f ‘(x_n) [/ matemática]

Si conecta [math] f (x) = x ln (x) – 1 [/ math] y su derivada [math] f ‘(x) = ln (x) + 1 [/ math] y comienza con [math ] x_0 = 1 [/ math], obtienes:

[matemáticas] x_0 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_1 = 2.0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = 1.7718483 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_3 = 1.7632362 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_4 = 1.7632228 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_5 = 1.7632228 [/ matemáticas]

Calculé lo anterior en un Lisp REPL, pero podría usar, por ejemplo, Python, Javascript o incluso una calculadora de bolsillo y lápiz y papel. De cualquier manera, la convergencia cuadrática es bastante buena y produce 6 lugares decimales después de solo 4 iteraciones.

Answer 2

Si solo tiene una calculadora simple a mano, puede aplicar la iteración de punto fijo aquí, escribiendo
[matemáticas] x = g (x) [/ matemáticas]

Intentemos:
[matemáticas] x ^ x = e [/ matemáticas]
[matemáticas] x = e ^ {\ frac {1} {x}} [/ matemáticas]

Esto es posible, porque [matemáticas] | g ‘(x) | <1 [/ matemática] en el intervalo:
[1, + oo>

x = 1;
x = exp (1 / x) = 2.7183;
x = exp (1 / x) = 1.4447;
x = exp (1 / x) = 1.9981;
… 1.6495
… 1,8335
… 1.7253
… 1.7853
… 1.7509
…

Answer 3

* A2A

[matemáticas] x ^ x = e \\ x \ ln x = 1 \\\ ln xe ^ {\ ln x} = 1 \\\ ln x = W_n (1) \\ x = e ^ {W_n (1) } \\ x = \ dfrac1 {W_n (1)} \ tag * {} [/ math]

donde [math] W (x) [/ math] es la función Lambert W

Answer 4

[matemáticas] x ^ x = e [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x \ ln (x) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ ln (x) e ^ {\ ln (x)} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ ln (x) = W_n (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = e ^ {W_n (1)} \ hspace {10mm} [/ matemáticas]

Donde [math] W (x) [/ math] es la función Lambert W o la función ProductLog y [math] W_n (z) [/ math] es la [math] n ^ {\ text {th}} [/ math] rama de su Continuación Analítica

En la rama principal, [matemáticas] W (1) = \ Omega [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = e ^ {\ Omega} = \ Omega ^ {- 1} \ aprox 1.7632228343 [/ matemáticas]

Donde [math] \ Omega [/ math] es la constante de Lambert Omega, definida como [math] \ Omega e ^ \ Omega = 1 [/ math]

Espero que esto ayude 🙂

Answer 5

[matemáticas] x ^ x = e \ rightarrow \ ln (x ^ x) = \ ln (e) \ rightarrow x \ ln x = 1 \ rightarrow W (x \ ln x) = W (1) [/ math]

[matemática] \ rightarrow \ ln x = W (1) \ rightarrow x = e ^ {W (1)} = {1 \ over W (1)} \ aprox 1.7632 [/ math]

Donde [math] W [/ math] es la función Lambert W que puedes calcular usando Wolfram | Alpha usando ProductLog (x).

Answer 6

Permítanos mostrar otra forma de presentación de la solución.

Paso a paso :

1. x ^ x = e | (en la composición de la función)
2. ln (x ^ x) = ln (e) | ln ( ab ) = b ∗ ln ( a ), ln (e) = 1
3. x ∗ ln (x) = 1 | (Composición de la función Lambert W)
4. W (x ∗ ln (x)) = W (1) | W (a * ln (b)) = ln (b)
5. ln (x) = W (1) | (composición de la función exp)
6. x = e ^ W (1) | aproximación
7. 1.7632 (matemática)

Solución e ^ W (1) ~~~ 1.7632

Answer 7

Toma el registro natural:

[matemáticas] x \ log x = 1 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ log x = 1 / x [/ math]

Trazar esto da esto:

Entonces, la solución está entre [matemática] x = 1.7 [/ matemática] y [matemática] x = 1.8 [/ matemática]. Después de golpear y probar, 1.76 es la solución.

Answer 8

1. Tome el registro (base e) en ambos lados.
x.logx = 1
escribir como
logx = 1 / x
puede dibujar fácilmente los gráficos en ambos lados y verificar la intersección.
Usando Wolfram Alpha para dibujar las curvas obtenemos la respuesta = 1.763 (aprox.).