Como todos sabemos, la media geométrica es menor o igual que la media aritmética y son iguales solo si los valores son iguales, es decir, [matemática] u + v \ ge \ sqrt {4uv} [/ matemática]
Aplicarlo a la parte izquierda
[matemáticas] 16 ^ {x ^ 2-y} + 16 ^ {y ^ 2-x} \ ge \ sqrt {4 \ cdot 16 ^ {x ^ 2-y + y ^ 2-x}} = 16 ^ { \ frac {1} {2} ((x- \ frac {1} {2}) ^ 2+ (y- \ frac {1} {2}) ^ 2- \ frac {1} {4} – \ frac {1} {4} + \ frac {1} {2})} = 16 ^ {\ frac {1} {2} ((x- \ frac {1} {2}) ^ 2+ (y- \ frac {1} {2}) ^ 2)} [/ matemáticas]
Como [matemáticas] (x- \ frac {1} {2}) ^ 2+ (y- \ frac {1} {2}) ^ 2 \ ge 0 \ mbox {y} (x- \ frac {1} { 2}) ^ 2+ (y- \ frac {1} {2}) ^ 2 = 0 \ Leftrightarrow x = y = \ frac {1} {2} [/ math]
- ¿Es [math] \ mathbb {N} [/ math] isomorfo con el conjunto [math] \ {1- \ frac {1} {n} | n \ in \ mathbb {N} – \ {0 \} \} \ cup \ {1 \} [/ math]?
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[matemáticas] 16 ^ {\ frac {1} {2} ((x- \ frac {1} {2}) ^ 2+ (y- \ frac {1} {2}) ^ 2)} \ gt 1 \ forall (x; y) \ neq (\ frac {1} {2}; \ frac {1} {2}) [/ math]. Así [matemáticas] 16 ^ {x ^ 2-y} + 16 ^ {y ^ 2-x} \ gt 1 \ forall (x; y) \ neq (\ frac {1} {2}; \ frac {1} {2}) [/ matemáticas].
Lo único que queda es ver que [matemática] x = y = \ frac {1} {2} [/ matemática] satisface nuestra ecuación, lo que, por supuesto, hace.