Giuseppe Coppoletta lo refirió a la prueba de que no hay soluciones, intentaré ilustrar esto:
Volver a escribir
[matemáticas] \ displaystyle xy = 1 \ implica y = x-1 [/ matemáticas]
y conecte esto a:
- ¿Por qué la integral de [matemáticas] y = 1 / (x \ ln x) [/ matemáticas] diverge?
- Cómo usar (), [] y {} en matemáticas
- Encuentre la solución de x e y en la ecuación dada 16 ^ (x ^ 2-y) + 16 ^ (y ^ 2-x) = 1, donde x e y pertenecen a números reales? No use métodos de prueba y hit , sus valores generales?
- ¿Es [math] \ mathbb {N} [/ math] isomorfo con el conjunto [math] \ {1- \ frac {1} {n} | n \ in \ mathbb {N} – \ {0 \} \} \ cup \ {1 \} [/ math]?
- Cómo resolver el problema SPOJ: VELOCIDAD
[matemáticas] \ displaystyle x ^ aa ^ x = 1 \ implica x ^ {(x-1)} – {(x-1)} ^ x = 1 \ implica x ^ {(x-1)} – {(x -1)} ^ x-1 = 0 [/ matemáticas]
Esto le da la función compleja:
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = x ^ {(x-1)} – {(x-1)} ^ x – 1 [/ matemáticas]
Grafiquemos el valor absoluto
El valor absoluto de f (x), tres puntos rojos marcan sus soluciones (x = 1,2,3).
En la imagen izquierda, abs (f (x)) se escala regularmente, en la imagen derecha se muestra la décima raíz de abs (f (x)), para una mejor visibilidad.
Entonces, la inspección visual sugiere que solo hay tres soluciones.
Ahora veamos los límites de la función. Para [math] x \ to – \ infty [/ math] dos de los tres términos van a cero.
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to – \ infty} x ^ {(x-1)} = 0 [/ matemáticas]
y:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to – \ infty} {(x-1)} ^ x = 0 [/ matemáticas]
Ambos tienen una oscilación compleja, sin embargo, el exponente negativo hace que los términos desaparezcan rápidamente, por lo que
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to – \ infty} f (x) = -1 [/ matemáticas]
Para [matemática] x \ a + \ infty [/ matemática], primero miramos la relación absoluta entre estos dos términos cuando [matemática] x> 1 [/ matemática]:
[matemáticas] \ frac {{(x-1)} ^ x} {x ^ {(x-1)}} = x \ frac {{(x-1)} ^ x} {x ^ {x}} = x {(1- \ frac {1} {x})} ^ x [/ math]
para lo cual es bien sabido que el segundo factor converge a [math] \ frac {1} {e} [/ math], entonces:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to + \ infty} x {(1- \ frac {1} {x})} ^ x = \ frac {x} {e} [/ math]
Y por lo tanto
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to + \ infty} f (x) =
\ displaystyle \ lim_ {x \ to + \ infty} x ^ {(x-1)} (1- \ frac {x} {e}) – 1 = – \ infty [/ math]
Esta no es una prueba completa, pero te da la idea.
¡Salud!