¿El polinomio [math] f (x) = x ^ 3 – 2 [/ math] es irreducible en [math] \ mathbb {Q} [\ sqrt {2}] [x]? [/matemáticas]

Answer 1

Sí lo es.

El polinomio [matemático] x ^ 3-2 [/ matemático] es de grado [matemático] 3 [/ matemático], por lo tanto, si factoriza sobre cualquier campo [matemático] F [/ matemático] como [matemático] \ mathbb {Q } (\ sqrt {2}) [/ math], debe tener un factor lineal en [math] F [x] [/ math]. En otras palabras, para mostrar que es irreducible en [math] F [/ math], necesitamos mostrar que [math] F [/ math] no contiene ninguna raíz del polinomio. ( Advertencia : ¡esto no es cierto para los polinomios de grado 4 o superior! Un polinomio se puede dividir en dos factores irreducibles, ninguno de los cuales tiene una raíz en el campo. Pero [matemáticas] 3 [/ matemáticas] no es la suma de dos números que son mayores que [matemática] 1 [/ matemática]).

El polinomio tiene una raíz real y dos no reales en [math] \ mathbb {C} [/ math]. El campo [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {2}) [/ math] es real (contenido en [math] \ mathbb {R} [/ math]) por lo que la única raíz que podría contener es la real uno, [matemáticas] \ sqrt [3] {2} [/ matemáticas].

Entonces la pregunta se reduce a mostrar que

[matemáticas] \ sqrt [3] {2} \ notin \ mathbb {Q} (\ sqrt {2}) [/ matemáticas].

Esto se puede hacer de varias maneras. Creo que la más fácil y natural es la siguiente, pero dependiendo de cómo se le enseñó este material, puede encontrar otras formas de manejarlo.

Para cualquier número algebraico hay un conjunto de polinomios racionales que tienen este número como raíz. Este conjunto siempre contiene un polinomio de grado más pequeño, llamado el polinomio mínimo , y divide cada polinomio en el conjunto (prueba: si no divide alguno de esos polinomios, la realización de la división polinomial produciría un resto que tiene un grado menor y aún así tiene nuestro número como raíz).

El número [math] \ sqrt [3] {2} [/ math] es ciertamente una raíz del polinomio [math] x ^ 3-2 [/ math], y este polinomio es irreducible sobre [math] \ mathbb {Q } [/ math] por la misma razón que ya hemos discutido: no tiene ninguna raíz en [math] \ mathbb {Q} [/ math], ya que no hay una [math] q [/ math] racional satisfactoria [ matemáticas] q ^ 3 = 2 [/ matemáticas]. Entonces, este polinomio es en realidad el polinomio mínimo de [math] \ sqrt [3] {2} [/ math] sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math], y en particular, [math] \ sqrt [3] {2} [/ math] no es la raíz de ningún polinomio cuadrático sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math].

Pero todos los elementos del campo [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {2}) [/ math] tienen la forma [math] a + b \ sqrt {2} [/ math] con [math] a, b \ in \ mathbb {Q} [/ math], y cada número de esta forma es una raíz de algún polinomio cuadrático: if [math] z = a + b \ sqrt {2} [/ math] then [math] ( za) ^ 2 = 2b [/ matemática], entonces [matemática] z ^ 2-2az + a ^ 2-2b = 0 [/ matemática].

Hemos demostrado que todos los elementos del campo [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {2}) [/ math] tienen un grado [math] 2 [/ math] sobre [math] \ mathbb {Q} [ / math], lo que significa que son raíces de polinomios de segundo grado, mientras que el número [math] \ sqrt [3] {2} [/ math] no se debe a que tiene grado [math] 3 [/ math]. Se deduce que [math] \ sqrt [3] {2} \ notin \ mathbb {Q} (\ sqrt {2}) [/ math].

Answer 2

Pregunta similar se hace en
¿El polinomio [math] f (x) = x ^ 3 – 2 [/ math] es irreducible en [math] \ mathbb {Q} [\ sqrt {2}] [x]? [/matemáticas]

Las tres raíces de [matemáticas] x ^ 3 – 2 = 0 [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] \ sqrt [3] {2} \, e ^ {\ frac {i2 \ pi k} {3}}, k = 0, 1, 2 [/ matemáticas]. Mostrar [matemática] x ^ 3-2 [/ matemática] no se puede reducir en [matemática] Q (\ sqrt {2}) [/ matemática] es equivalente a mostrar [matemática] \ sqrt [3] {2} [/ math] no es representable en [math] Q (\ sqrt {2}) [/ math].

Utilizando el método de contradición, suponga que [math] \ sqrt [3] {2} = \ dfrac {p_1} {q_1} + \ dfrac {p_2} {q_2} \ sqrt {2} [/ math], donde [math] p_1, q_1, p_2, q_2 [/ math] son ​​enteros.

[matemáticas] \ sqrt [3] {2} = \ dfrac {p_1} {q_1} + \ dfrac {p_2} {q_2} \ sqrt {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] q_1q_2 \ sqrt [3] {2} = p_1q_2 + p_2q_1 \ sqrt {2} [/ matemáticas] (ahora triple potencia de ambos lados)

[matemáticas] 2q_1 ^ 3q_2 ^ 3 = p_1 ^ 3q_2 ^ 3 + 3p_1p_2 ^ 2q_1 ^ 2q_2 + (3p_1 ^ 2p_2q_1q_2 ^ 2 + 2p_2 ^ 3q_1 ^ 3) \ sqrt {2} [/ math],

lo que contradice con [math] \ sqrt {2} [/ math] no es representable en [math] Q [/ math] if [math] (3p_1 ^ 2p_2q_1q_2 ^ 2 + 2p_2 ^ 3q_1 ^ 3) \ neq 0 [/ math ]

Si [matemáticas] (3p_1 ^ 2p_2q_1q_2 ^ 2 + 2p_2 ^ 3q_1 ^ 3) = 0, [/ matemáticas]

[matemáticas] (3p_1 ^ 2p_2q_1q_2 ^ 2 + 2p_2 ^ 3q_1 ^ 3) = p_2q_1 (3p_1 ^ 2q_2 ^ 2 + 2p_2 ^ 2q_1 ^ 2) = 0, q_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] q_2 [/ matemáticas] no puede ser [matemática] 0, [/ matemática] [matemática] p_2 [/ matemática] debe ser [matemática] 0, [/ matemática] que significa [matemática] \ sqrt [3] {2} = \ dfrac {p_1} {q_1 }, [/ math] una contradición (supongamos que aceptamos [math] \ sqrt [3] {2} [/ math] no puede representarse en [math] Q [/ math]).

Answer 3

Primero, tenga en cuenta que si [math] f \ en K [x] [/ math] es cúbico, entonces es reducible sobre alguna extensión [math] L / K [/ math] si y solo si tiene una raíz allí. Esto no es cierto para polinomios de grado superior, solo para cúbicos y cuadráticos. Por lo tanto, como han mostrado las otras respuestas, esto es equivalente a mostrar que [math] 2 ^ {1/3} \ notin \ mathbf Q (\ sqrt {2}) [/ math].

Podemos hacer esto usando álgebra lineal. Como sabemos que [math] x ^ 3 – 2 [/ math] es irreducible sobre [math] \ mathbf Q [/ math], sabemos que el conjunto [math] \ {1, 2 ^ {1/3}, 2 ^ {2/3} \} [/ math] es linealmente independiente sobre [math] \ mathbf Q [/ math] (¿por qué?) Por lo que abarca un subespacio de dimensión 3. Por otro lado, [math] \ mathbf Q (\ sqrt {2}) [/ math] como [math] \ mathbf Q [/ math] -espacio vectorial es bidimensional. Esto es una contradicción, por lo tanto, [math] 2 ^ {1/3} \ notin \ mathbf Q (\ sqrt {2}) [/ math].

Answer 4

Si la función dada …

[math] \ huge \ boxed {f (x) = x ^ 3–2} [/ math] es irreducible en [math] \ huge {\ mathbb {Q [\ sqrt {2}]}} [/ math]. entonces todas las raíces de [math] \ huge {f (x)} [/ math] [math] \ in [/ math] [math] \ huge {\ mathbb {Q [\ sqrt {2}]}} [/ math ]

Ahora [matemáticas] \ large \ boxed {f (x) = 0 \ Rightarrow x ^ 3–2 = 0 \ Rightarrow x = 2 ^ {\ frac {1} {3}}, 2 ^ {\ frac {1} { 3}} \ omega, 2 ^ {\ frac {1} {3}} {\ omega} ^ 2, donde, \ omega = \ frac {1} {2} (- 1 + i \ sqrt {3}), \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (- 1-i \ sqrt {3})} [/ math]

Esto muestra que todas las raíces de [math] \ huge {f (x)} [/ math] [math] \ notin \ mathbb {Q [\ sqrt {2}]} [/ math]

Por lo tanto, [math] \ LARGE \ boxed {f (x) = x ^ 3–2} [/ math] es irreducible en [math] \ mathbb {Q [\ sqrt {2}]} [/ math]

Answer 5

Por contradicción. Suponga que [math] f [/ math] no es irreducible. Entonces existen dos polinomios [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática], de modo que:
[matemáticas] f = AB [/ matemáticas], con [matemáticas] A [/ matemáticas] de grado 1 y [matemáticas] B [/ matemáticas] de grado 2. Entonces [matemáticas] A [/ matemáticas] tiene una raíz y debe estar en [math] \ mathbb {Q} [\ sqrt {2}] [X] \ subset \ mathbb {R} [/ math]. Por lo tanto, esta raíz es [matemáticas] 2 ^ {\ frac {1} {3}} [/ matemáticas] (es la única raíz real de [matemáticas] f [/ matemáticas]). Ahora solo tiene que demostrar que [math] 2 ^ {\ frac {1} {3}} [/ math] no pertenece a [math] \ mathbb {Q} [\ sqrt {2}] [X] [ /matemáticas].

Answer 6

Si.

Para comenzar: tenga en cuenta que, en general, si un polinomio de tercer grado se divide, al menos uno de los factores debe ser lineal.

Answer 7

Sí, Mete ya ha demostrado el formalismo en cómo probarías tal cosa. A veces, la mejor manera de demostrar que algo no funciona es asumir que sí funciona y trabajar con eso hasta que encuentre dónde se rompe el supuesto.