La antiderivada de [math] 1 / (x \ ln x) [/ math] es [math] \ ln (\ ln x) [/ math]. Esto va a [matemática] – \ infty [/ matemática] en [matemática] x = 1 [/ matemática] y a [matemática] + \ infty [/ matemática] en [matemática] x \ a \ infty [/ matemática]. El último menos el primero es [math] + \ infty [/ math], por lo que la integral divergerá.
Sin embargo, sospecho que usted sabe eso y está tratando de encontrar alguna intuición sobre cuán “rápida” debe caerse una función para que la integral en [math] (1, \ infty) [/ math] diverja.
Es muy fácil ver que la integral de [math] 1 / x [/ math] diverge mientras que la de [math] 1 / x ^ 2 [/ math] converge. De hecho, es bastante sencillo demostrar que la integral de [matemática] 1 / x ^ n [/ matemática] converge para cualquier [matemática] n> 1 [/ matemática] real (por ejemplo, [matemática] n = 1.00001 [/ matemática] ) y diverge para cualquier [matemática] n \ le 1 [/ matemática] real. (Ejercicio: ¡prueba esto!)
La pregunta ahora es: ¿dónde cabe [matemática] 1 / (x \ ln x) [/ matemática] en esta “jerarquía”? Un análisis simple muestra que para cualquier [matemática] x> e [/ matemática] tenemos [matemática] 1 / (x \ ln x) 1 [/ matemática], hay algunos [matemática] x_0 [/ matemática] tal que para todos [matemática] x> x_0 [/ matemática] tenemos [matemática] 1 / (x \ ln x)> 1 / x ^ n [/ math]. (Ejercicio: ¡prueba esto!)
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Encontrará que esto [matemática] x_0 [/ matemática] se vuelve bastante grande para valores de [matemática] n [/ matemática] muy cerca de [matemática] 1 [/ matemática]. Por ejemplo, para [matemáticas] n = 1.01 [/ matemáticas] esto solo sucede en [matemáticas] x \ aprox 10 ^ {281} [/ matemáticas]. Pero siempre hay un número finito.
Así que hemos encontrado que, aunque [matemática] 1 / (x \ ln x) 1 / x ^ n [/ matemática] para cualquier [matemática] n> 1 [/ matemática] arbitrariamente cercana a [matemática] 1 [/ matemática] excepto en Un subintervalo finito.
Si ha desarrollado alguna intuición para el cálculo, probablemente ya sepa lo que esto significa. Podemos “emparedar” las funciones de esta manera:
[matemáticas] 1 / x ^ n <1 / (x \ ln x) <1 / x [/ matemáticas]
Cuando tomamos [math] n \ to 1 [/ math] podemos ver que, al menos en lo que respecta a las integrales en el intervalo [math] (1, \ infty) [/ math], [math] 1 / ( x \ ln x) [/ math] es “lo mismo” que [math] 1 / x [/ math]. Por lo tanto, su integral diverge. (Ejercicio: escriba una prueba rigurosa de esta afirmación que acabo de “probar” agitando a mano …)
Finalmente, esto debería darle una idea sobre una “jerarquía” más general de funciones. Como [math] x \ to \ infty [/ math], para cualquier [math] n> 0 [/ math] real, la función [math] (\ ln x) ^ n [/ math] crece “más lentamente” que [ matemáticas] x ^ n [/ matemáticas], que crece “más lento” que [matemáticas] n ^ x [/ matemáticas]. En términos más precisos:
[matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {(\ log x) ^ {n}} {x ^ {n}} = \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {x ^ {n} } {n ^ x} = 0. [/ matemáticas]
Esto se usa en el análisis asintótico cuando se clasifica la complejidad computacional de los algoritmos. Ver Big O notación.